Question

Докажите, что отношение квадратов катетов прямоугольного треугольника равен отношению их проекций на гипотенузу.

Answer 1

△ACH~△ABC (прямоугольные т. с общим углом A).
AH/AC=CH/BC <=> CH=AH*BC/AC

△ACH~△CBH (прямоугольные т.; ∠ACH=90-∠A, ∠B=90-∠A => ∠ACH=∠B).
AC/BC=CH/BH <=> CH=AC*BH/BC

AH*BC/AC=AC*BH/BC <=> AC^2/BC^2 =AH/BH

Answer 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Пусть h - высота, опущенная из вершины угла C на гипотенузу AC. Также пусть \(x\) и \(y\) будут длинами проекций катетов AB и BC соответственно на гипотенузу AC.

Используем подобие треугольников ABC и CHD (где D - проекция вершины B на гипотенузу AC). По определению подобия треугольников:

\[\frac{HD}{BC} = \frac{CH}{AB}\]

Из определения проекции: \(HD = x\) и \(CH = h\), а также \(BC = y\) и \(AB = h\).

Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{x}{y} = \frac{h}{h}\]

Таким образом, мы доказали, что отношение длин проекций катетов на гипотенузу равно отношению длин катетов:

\[\frac{x}{y} = \frac{AB}{BC}\]

Таким образом, отношение квадратов катетов квадратного треугольника равно отношению их проекций на гипотенузу.