Question

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Докажите равенство площадей треугольников AOB и COD.

Answer 1

Площадь треугольника ABD равна площади треугольника ACD (общее основание и равные высоты)
S(AOB) = S(ABD) - S(AOD)
S(DOC) = S(ACD) - S(AOD) = S(ABD) - S(AOD) = S(AOB)

Answer 2

Для доказательства равенства площадей треугольников AOB и COD в трапеции ABCD сначала обратимся к свойствам подобных треугольников.

Заметим, что по условию диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Используем теорему о подобных треугольниках в паре AOB и COD.

Посмотрим на эти треугольники:

- Треугольник AOB образован диагоналями и основаниями трапеции. - Треугольник COD также образован диагоналями и основаниями трапеции.

Теперь обратим внимание на соответствующие углы этих треугольников. Угол AOB и угол COD – это вертикальные углы, значит, они равны между собой.

Далее, вспомним, что при пересечении параллельных прямых (что верно для сторон трапеции) соответственные углы равны. Это означает, что угол OAB подобен углу OCD, и угол OBA подобен углу ODC.

Таким образом, у нас есть две пары подобных углов в треугольниках AOB и COD. Поскольку соответствующие углы подобных треугольников равны, а стороны пропорциональны, можно сделать вывод, что эти треугольники подобны.

При подобии треугольников их площади относятся как квадраты соответствующих сторон. Так как треугольники AOB и COD подобны, то их площади относятся как квадраты соответствующих сторон.

Из этого следует, что площади треугольников AOB и COD равны.