Question

площадь трапеции равна 30. высота равна 5 одна из диагоналей равна 6. найти вторую диагональ

Answer 1

Типовое построение - проводим через вершины малого основания прямую II диагонали, НЕ проходящей через эту вершину, до пересечения с продолжением большого основания. Получается треугольник, РАВНОВЕЛИКИЙ (имеющий ту же площадь) трапеции (у него основание равно сумме оснований трапеции, а высота - общая с трапецией). 

В этом треугольнике нам известна одна сторона 6, высота к "основанию" 5, площадь 30, надо найти стороны. Обозначим неизвестные стороны c и b

"основание" находится легко (это с)

с*5/2 = 30, с = 12. (для трапеции это - сумма оснований :))

если обозначить угол между диагональю и основанием Ф, то из этого треугольника находим sin(Ф) = 5/6. 

Отсюда сos(Ф) = корень(1 - (5/6)^2) = корень(11)/6;

по теореме косинусов

b^2 = 6^2 + 12^2 - 2*6*12*корень(11)/6 = 180 - 24*корень(11);

b = корень(180 - 24*корень(11));

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h, \]

где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, \( h \) - высота трапеции.

У нас известны \( S = 30 \) и \( h = 5 \), и мы ищем одно из оснований. Заменим известные значения в формуле:

\[ 30 = \frac{a + b}{2} \cdot 5. \]

Решим уравнение относительно \( a + b \):

\[ a + b = \frac{30}{5} \times 2 = 12. \]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее оба основания. Также нам дано, что одна из диагоналей равна 6. Обозначим эту диагональ как \( d \), а другую как \( d' \).

Трапеция — это четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. Диагонали трапеции делят её на два треугольника. Если мы нарисуем трапецию и обозначим её диагонали, получим два треугольника. Каждый из этих треугольников — это прямоугольный треугольник, так как один угол треугольника прямой угол (в трапеции).

Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для каждого из этих треугольников:

1. Для треугольника, образованного \( a \), \( b \) и \( d \):

\[ a^2 + h^2 = d^2. \]

2. Для треугольника, образованного \( b \), \( a \) и \( d' \):

\[ b^2 + h^2 = (d')^2. \]

Теперь мы можем решить систему уравнений. Мы знаем, что \( a + b = 12 \), и у нас есть два уравнения, связанных с теоремой Пифагора. Решив эту систему уравнений, мы найдем значения \( a \), \( b \), \( d \) и \( d' \). После этого вторая диагональ \( d' \) будет известна.