Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов разность между гипотенузой и малым катетом равнв 2,75см. Найдите гипотенузу и малый катет

Answer 1

AB-гипотенуза; CB-катет( малый) лежит против угла в 30 градусов и равен половине гипотенузы, значит, AB-CB=2,75; AB=2BC; подставляем в 1 уравнение AB , 2BC-BC=2,75; BC=2,75, AB=5,5.

Answer 2

Давайте обозначим углы прямоугольного треугольника:

- \(A\) - прямой угол (90 градусов), - \(B\) - угол, равный 60 градусов, - \(C\) - угол, равный 30 градусов.

Пусть: - \(c\) - гипотенуза, - \(a\) - большой катет, - \(b\) - малый катет.

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:

1. \(a = c \cdot \cos B\) 2. \(b = c \cdot \sin B\)

Из условия задачи мы знаем, что \(b = a - 2.75\) (разность между гипотенузой и малым катетом равна 2.75 см).

Также, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом \(B = 60\) градусов, \(\cos 60 = \frac{1}{2}\) и \(\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь можем записать уравнение для нахождения гипотенузы:

\[a - 2.75 = c \cdot \sin B\]

Подставим значения:

\[a - 2.75 = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Также, мы знаем, что \(a = c \cdot \cos B\), поэтому:

\[c \cdot \cos B - 2.75 = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь выразим \(c\):

\[c = \frac{2.75}{\cos B - \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Подставим \(B = 60\) градусов:

\[c = \frac{2.75}{\cos 60 - \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Рассчитаем значение:

\[c = \frac{2.75}{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Упростим дробь:

\[c = \frac{2.75}{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}\]

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 2, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[c = \frac{2.75 \cdot 2}{1 - \sqrt{3}}\]

\[c = \frac{5.5}{1 - \sqrt{3}}\]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, чтобы избавиться от корня:

\[c = \frac{5.5 \cdot (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})}\]

\[c = \frac{5.5 \cdot (1 + \sqrt{3})}{1 - 3}\]

\[c = \frac{5.5 \cdot (1 + \sqrt{3})}{-2}\]

\[c = -\frac{5.5}{2} \cdot (1 + \sqrt{3})\]

Теперь мы найдем значение гипотенузы \(c\). После этого, используя найденное значение \(c\), найдем большой катет \(a\) и малый катет \(b\).