Question

В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окр-ти делит боковую сторону в отношении 2:5, считая от вершины основания. Радиус окружности, вписанной в этот треугольник равен 2 корень из 5. Найдите боковую сторону

Answer 1

Вот забавное решение.

Если ввести некую меру длинны, так чтобы отрезки боковой стороны были 2*x и 5*x, то получается треугольник с боковыми сторонами 7*х и основанием 4*х. То есть он подобен треугольнику со сторонами 7, 7, 4.

найдем, чему равен радиус вписанной окружности в таком треугольнике. 

Периметр равен Р = 18; Высота равна Н = корень(7^2 - 2^2) = 3*корень(5);

площадь S = 4*3*корень(5)/2 = P*r/2; r = (2/3)*корень(5);

То есть радиус получисля в 3 раза меньше. Значит, чтобы он получился 2*корень(5), надо взять х = 3; 

То есть наш треугольник имеет стороны 21, 21 и основание 12;

Answer 2

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна х. Так как точка касания вписанной окружности делит боковую сторону в отношении 2:5, то расстояние от точки касания до вершины основания равно 2/7 х, а расстояние от точки касания до основания равно 5/7 х.

Радиус вписанной окружности равен 2√5, а формула для радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника равна r = (a√(b^2 - a^2/4))/2, где a - боковая сторона треугольника, b - основание треугольника.

Подставим известные значения в формулу: 2√5 = (х√(х^2 - х^2/4))/2

Упростим уравнение: 2√5 = (х√(3х^2/4))/2 √5 = х√(3х^2/4) √5 = (х/2)√3х^2 √5 = (х/2)√(3х^2) (√5 * 2)/√(3х^2) = х

Умножим обе части уравнения на √(3х^2): 2√5 = х√(3х^2)

Возводим обе части уравнения в квадрат: 20 = 3х^2

Решим полученное квадратное уравнение: 3х^2 = 20 х^2 = 20/3 х = ±√(20/3)

Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то боковая сторона равнобедренного треугольника равна √(20/3).