Question

Дана правильная треугольная пирамида .Определите площадь ее боковой поверхности, если сторона основания равна a и боковое ребро составляет с плосостью основани угол 45 градусов

Answer 1

Пусть SАВС - правильная 3-х угольная пирамида, SО - высота, АВС - основание, стороны АВ=ВС=АС=а, угол SАО=45⁰.

АО - радиус описанной окружности, по формуле для правильных треугольников АО=R=a/√3.

Из треугольника SАО, угол SОА=90⁰ : SА= SО/cos45°=a/√3 : 1/√2 = а√2/√3.

Проведем SМ - апрофему(высоту боковой грани). Из треугольника SАМ, угол SМА=90°, по т. Пифагора: SМ²=SА²- SО² = (а√2/√3)²-(a/√3)²=a²/3, SМ=a/√3.

Sбок.= ½ l·P = ½·a/√3·3a= ½·а²√3

Answer 2

Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, зная длину бокового ребра и высоту боковой грани.

Высота боковой грани равна проекции бокового ребра на плоскость основания. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусам, то высота боковой грани равна (боковое ребро) * sin(45°).

Сторона основания равна a, поэтому длина бокового ребра равна a * sqrt(2).

Высота боковой грани равна (a * sqrt(2)) * sin(45°) = a.

Так как боковая грань равнобедренный треугольник, то ее площадь равна (1/2) * a * a = (a^2)/2.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна площади одной боковой грани, умноженной на количество боковых граней. В правильной треугольной пирамиде количество боковых граней равно 3.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3 * (a^2)/2 = (3a^2)/2.