Question

Помогите плииииз!!!!Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов равен сумме двух других углов.

Answer 1

Треугольниики AMB и AMC равнобедренные
угол ABM=BAM  и MAC=MCA
но BAM+MAC=BAC
BAC=ABC+BCA, что и требовалось доказать

Answer 2

Пусть медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Нам нужно доказать, что один из углов треугольника равен сумме двух других углов.

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть α, β и γ - углы этого треугольника, где α - угол напротив стороны ВС, β - угол напротив стороны АС и γ - угол напротив стороны АВ.

Так как медиана АМ равна отрезку ВМ, то треугольники АВМ и ВМС равновеликие (по теореме о равенстве площадей треугольников с общей стороной).

Таким образом, площади треугольников АВМ и ВМС равны. Обозначим эти площади как S1 и S2 соответственно.

Так как S1 = S2, то (1/2)*АМ*АВ*sin(γ) = (1/2)*ВМ*ВС*sin(β) (по формуле площади треугольника через стороны и синус угла).

Сокращая на (1/2), получаем АМ*АВ*sin(γ) = ВМ*ВС*sin(β).

Так как АМ = ВМ (по условию), то АВ*sin(γ) = ВС*sin(β).

Поделим обе части равенства на АВ*ВС (оба этих значения отличны от нуля, так как треугольник АВС существует).

Получаем sin(γ)/ВС = sin(β)/АВ.

Так как sin(γ)/ВС = sin(γ)/АС (так как АС = ВС), то sin(γ)/АС = sin(β)/АВ.

Таким образом, sin(γ)/АС = sin(β)/АВ.

Учитывая, что sin(γ)/АС = sin(α)/АВ (так как АС = ВС и α - угол напротив стороны ВС), получаем sin(α)/АВ = sin(β)/АВ.

Сокращая на АВ (отличное от нуля), получаем sin(α) = sin(β).

Из этого следует, что α = β или α + β = 180°.

Таким образом, один из углов треугольника равен сумме двух других углов.