Question

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости гамма. Через прямую a проведена плоскость альфа, а через прямую b - плоскость бета так, что плоскости альфа и бета пересекаются по прямой c. Докажите, что c параллельна гамма. ПОМОГИТЕ, ПРОШУ !!!!

Answer 1

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости гамма. Через прямую a проведена плоскость альфа, а через прямую b - плоскость бета так, что плоскости альфа и бета пересекаются по прямой c. Докажите, что c параллельна гамма.

-------------

1) Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то  линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых. 

⇒ с || аис || b

2) Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости

Прямая с, по которой пересекаются плоскости α и  β, не лежит в плоскости гамма и параллельна а, лежащей в этой плоскости (см.п1). Требуется доказать п.2, т.е.  что прямая с параллельна плоскости гамма.

Плоскость α содержит  прямые с и а (с || а- см п.1). 

Предположим, что прямая с пересекает плоскость гамма  в  точке М.

Тогда точка М принадлежит и плоскости гамма,  и плоскости α, т.е. точка М принадлежит  прямой а, содержащей линию, по которой плоскости α и гамма пересекаются. Получается, что прямые с и а пересекаются, что противоречит  п.1.

  (аналогично требуемое  доказывается через прямую b). 

Следовательно, с || гамма, ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая c параллельна плоскости гамма, можно воспользоваться свойством параллельных прямых и плоскостей.

По условию, прямые a и b лежат в плоскости гамма. Плоскость альфа проведена через прямую a, а плоскость бета - через прямую b. Понятно, что плоскости альфа и бета пересекаются по прямой c.

Допустим, что прямая c не параллельна плоскости гамма. Тогда она должна пересекать плоскость гамма в некоторой точке. Но так как плоскости альфа и бета пересекаются по прямой c, то они также пересекаются в этой точке. Но это невозможно, так как прямые a и b лежат в плоскости гамма, а значит, их пересечение должно лежать в этой плоскости.

Таким образом, мы приходим к противоречию, и наше предположение о том, что прямая c не параллельна плоскости гамма, неверно. Следовательно, прямая c параллельна плоскости гамма.