Question

В треугольник ABCсо сторонами АВ =7 см, ВС =9 см, АС =10 см вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке Е. Найдите расстояние от точки E до точки К биссектрисы ВК.

Answer 1

АК/КС = 7/9, АК + КС = 10; то есть КС = 10*9/(9+7) = 45/8

x + z = 10; x + y = 9; y + z = 7; => x - z = 2; 2*x = 12; x = 6 => y=3, z=4

СЕ = 6 => ЕК = 6 - 45/8 = 3/8

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство вписанного угла треугольника и свойство биссектрисы.

Свойство вписанного угла треугольника

В вписанном угле треугольника, у которого сторона является хордой окружности, проходящей через точку касания этой окружности со стороной, угол между этой стороной и хордой равен половине центрального угла, соответствующего этой хорде.

Свойство биссектрисы

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на две отрезка, пропорциональных смежным сторонам.

Теперь, давайте применим эти свойства к нашей задаче.

Шаг 1: Найдем угол BAC

Используя теорему косинусов для треугольника ABC, мы можем найти угол BAC. Зная длины сторон AB, AC и BC, мы можем воспользоваться следующей формулой:

cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)

Вставим значения:

cos(BAC) = (7^2 + 10^2 - 9^2) / (2 * 7 * 10)

cos(BAC) = (49 + 100 - 81) / 140

cos(BAC) = 68 / 140

cos(BAC) ≈ 0.4857

Теперь найдем угол BAC с помощью обратной функции косинуса (арккосинус):

BAC ≈ arccos(0.4857)

BAC ≈ 61.86°

Шаг 2: Найдем угол BKC

Так как точка E является точкой касания окружности, то угол BEC является прямым углом. Поскольку угол BAC равен 61.86°, угол BKC будет равен половине угла BEC.

BKC = 0.5 * BEC

Шаг 3: Найдем расстояние от точки E до точки K

Согласно свойству биссектрисы, отношение расстояния от точки Е до точки К и отрезка ВК будет равно отношению сторон AB и AC.

EK / BK = AE / AB

EK / BK = (AB - AE) / AB

EK = BK * (AB - AE) / AB

Шаг 4: Найдем длину отрезка BK

Используя свойство биссектрисы, длина отрезка BK будет равна:

BK = (BC * AB) / (AC + AB)

BK = (9 * 7) / (10 + 7)

BK = 63 / 17

BK ≈ 3.7059 см

Шаг 5: Найдем длину отрезка AE

Используя свойство биссектрисы, длина отрезка AE будет равна:

AE = (AC * AB) / (AC + AB)

AE = (10 * 7) / (10 + 7)

AE = 70 / 17

AE ≈ 4.1176 см

Шаг 6: Найдем расстояние от точки E до точки K

Подставим значения в формулу:

EK = BK * (AB - AE) / AB

EK = 3.7059 * (7 - 4.1176) / 7

EK ≈ 1.5874 см

Таким образом, расстояние от точки E до точки K биссектрис