Question

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13:12, считая от точки B. Найдите длину стороны BC треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 26 см.

Answer 1

AM/AB = 12/13, М - основание высоты из В.

cos(A) = 12/13; sin(A) = 5/13; BC = 2*R*sin(A) = 20;

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы треугольника и радиуса описанной окружности.

Нахождение длины стороны BC треугольника

Давайте обозначим длину стороны BC как c. Также, обозначим длины сторон AB и AC как a и b соответственно.

Известно, что биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B, в отношении 13:12, считая от точки B. Это означает, что отрезок, на который высота разбивается биссектрисой, равен 13x, а другой отрезок равен 12x, где x - коэффициент пропорциональности.

Используем формулу для высоты треугольника, связанную с его площадью: \[ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \] где S - площадь треугольника, c - длина стороны, а h - высота, проведенная к стороне c.

Поскольку S можно также выразить через радиус описанной окружности R: \[ S = \frac{abc}{4R} \] где a, b, c - длины сторон треугольника, R - радиус описанной окружности.

Используя выражение для S через высоту и биссектрису, получаем: \[ \frac{1}{2} \cdot c \cdot (13x + 12x) = \frac{abc}{4R} \] \[ \frac{25}{2} \cdot c \cdot x = \frac{abc}{4R} \] \[ c \cdot x = \frac{2abc}{25R} \]

Также, известно, что радиус описанной окружности R равен 26 см. Подставим это значение и найдем длину стороны BC: \[ c \cdot x = \frac{2ab \cdot c}{25 \cdot 26} \] \[ c \cdot x = \frac{ab \cdot c}{325} \] \[ x = \frac{ab}{325} \]

Теперь у нас есть выражение для x. Давайте рассмотрим еще одно соотношение, связанное с биссектрисой.

Использование свойства биссектрисы

Согласно свойству биссектрисы треугольника, мы можем описать длину биссектрисы через длины сторон треугольника: \[ \frac{2bc}{a + b} = 13x \] \[ \frac{2bc}{a + b} = 13 \cdot \frac{ab}{325} \]

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их относительно неизвестной стороны c.

Решение уравнений

1. Используем уравнение для биссектрисы, чтобы найти выражение для b: \[ b = \frac{650bc}{13(a + b)} \]

2. Подставим выражение для b в уравнение для площади треугольника: \[ c \cdot \frac{ab}{325} = \frac{2ab \cdot c}{25 \cdot 26} \] \[ \frac{ab^2c}{325} = \frac{ab^2c}{325} \] \[ c = 325 \]

Таким образом, длина стороны BC треугольника равна 325 см.