Question

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 2, а диагональ боковой грани равна корень из 13. Найдите угол между плоскостью А1ВС и плоскостью основания призмы.

Answer 1

30 градусов

По сути надо найти двугранный угол между треугольниками А1BC и АВС. Этот угол есть угол между высотами этих треугольников (которые также являются их медианами) . Обознач высоты как АМ и А1М. АМ можно найти по теореме Пифагора: СМ = 1 (половина ВС) => АМ = корень из (4 - 1) = корень из 3. Найдем высоту призмы, ака сторону АА1. Также по теореме Пифагора она равна корень из (5 - 4) = 1. угол А1АМ = 90 градусов, значит отношение стороны АА1 к АМ = tg(нужного угла) = tg(1/корень из 3) = 30 градусов.

Answer 2

Finding the Angle Between Two Planes

To find the angle between the plane A1BC and the base plane of the prism ABCA1B1C1, we can use the formula:

cos(θ) = |n1 ⋅ n2| / (|n1| * |n2|)

Where n1 and n2 are the normal vectors to the planes A1BC and ABCA1B1C1, respectively, and θ is the angle between the planes.

Calculating the Normal Vectors

The normal vector to a plane can be found using the coefficients of the plane's equation. For the plane A1BC, the coefficients are (a, b, c), and for the base plane ABCA1B1C1, the coefficients are (a1, b1, c1).

Using the Given Information

From the given information, we know that the side length of the base of the prism ABCA1B1C1 is 2, and the diagonal of the lateral face is √13.

We can use this information to calculate the coefficients of the normal vectors and then find the angle between the planes.

Let's proceed with the calculations.