Question

Даны последовательные вершины параллелограмма: А(0;0), В(1;3), С(7;1). Найти угол между диагоналями и показать, что этот параллелограмм является прямоугольником. Сделать чертеж

Answer 1

Найдем точку пересечения диагоналей прямоугольника. Координаты середины вектора АС (диагональ) равны: О(3,5;0,5).
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала.
Тогда вектор АО{3,5;0,5}, а вектор ВО{2,5;-2,5}.
Это половины диагоналей и угол между ними находим по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. В нашем случае:
cosα=(3,5*2,5+0,5*2,5)/[√(3,5²+0,5²)*√(2,5²+(-2,5)²)].
cosα=(8,75+1,25)/[√(12,25+0,25)*√(6,25+6,25)]. Или
cosα=10/12,5=0,8. Значит угол α≈36°

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение находим по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2.
Вектор АВ{1;3}
Вектор ВС{6;-2}
(ABxBC)=6+(-6)=0.
Значит стороны АВ и ВС перпендикулярны.
Следовательно, АВСD - прямоугольник.

Answer 2

Finding the Angle Between the Diagonals

To find the angle between the diagonals of the parallelogram with consecutive vertices A(0;0), B(1;3), and C(7;1), we can use the formula:

tan(θ) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|

Where m1 and m2 are the slopes of the diagonals.

First, let's find the slopes of the diagonals using the given vertices.

The slope of the diagonal AC: m1 = (1 - 0) / (7 - 0) = 1/7

The slope of the diagonal BD: m2 = (1 - 3) / (7 - 1) = -1

Now, we can calculate the angle between the diagonals using the formula: θ = arctan(|(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|)

Substituting the values: θ = arctan(|(1/7 - (-1)) / (1 + 1/7 * (-1))|)

Let's calculate the angle θ.

Verifying if the Parallelogram is a Rectangle

To show that the parallelogram is a rectangle, we need to demonstrate that the diagonals are perpendicular to each other. This can be done by showing that the product of the slopes of the diagonals is -1.

Let's calculate the product of the slopes of the diagonals: m1 * m2 = (1/7) * (-1) = -1/7

Since the product of the slopes is not -1, the parallelogram is not a rectangle.

Sketch

I'm sorry, but I'm unable to provide a sketch at the moment. However, you can easily plot the given points A(0;0), B(1;3), and C(7;1) on a coordinate plane to visualize the parallelogram.

I hope this helps! If you have further questions or need additional assistance, feel free to ask.