Question

Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. При каком значении k справедливо равенство AB + B C – OC = kCA? Ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби.​

Answer 1

Решение:

Для решения этой задачи, нам следует использовать свойства параллелепипеда и свойство пересечения его диагоналей.

Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет 8 вершин. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Так как диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке O, то диагональ AC пересекает диагональ B1D1.

Обозначим точки пересечения диагоналей как M и N, где M — точка пересечения диагоналей AC и B1D1, а N — точка пересечения диагоналей AD и B1C1.

Diagonal AM и Diagonal ND1 являются диагоналями плоскости ABCD, поэтому они пересекаются в одной точке O и делятся в отношении 1:1.

Таким образом, длина отрезка AM равна длине отрезка ND1.

Diagonal BN и Diagonal C1M являются диагоналями плоскости B1C1D1, поэтому они тоже пересекаются в точке O и делятся в отношении 1:1.

Таким образом, длина отрезка BN равна длине отрезка C1M.

Теперь рассмотрим треугольник CAO:

* Отрезок OC является медианой треугольника CAO, поэтому OC делит отрезок AM в отношении 2:1.

* Из предыдущих рассуждений, мы знаем, что отрезок AM равен отрезку ND1.

* Значит, OC делит отрезок ND1 в отношении 2:1.

* Так как отрезок BN равен отрезку C1M, то OC делит отрезок BN в отношении 2:1.

Теперь рассмотрим треугольник ABC:

* Отрезок AB является медианой треугольника ABC, поэтому AB делит отрезок BN в отношении 2:1.

* Значит, отрезок BC также делится AB в отношении 2:1.

Итак, мы получили, что AB делит отрезок BC в отношении 2:1.

Теперь рассмотрим отношение длин отрезков AB, BC и OC:

AB : BC : OC = 2 : 1 : 2

Теперь, используя данное отношение, мы можем найти значение k в равенстве AB + BC – OC = kCA.

AB : BC : OC = 2 : 1 : 2

AB + BC – OC = kCA

2 + 1 – 2 = k

1 = k

Ответ: k = 1