Question

14) В треугольнике abc проведена медиана bb1.Докажите,что bb1<(ab+bc)/2

Answer 1

Проведем СД параллельно АВ и той же длины и продлим ВВ1 на такое же расстояние. АВСД - параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны), ВД - его диагональ.

Согласно правилу треугольника  ВД < ВС + СД = АВ + ВС и соответственно

ВВ1 = ВД / 2 < (AB + BC) / 2

Answer 2

Достроив тр-к до параллелограмма, где ВВ1 - половина диагонали, убедимся что сумма смежных сторон параллелограмма больше диагонали, равной удвоенной медиане, так как ломаная всегда больше прямой:

АВ + ВС >2BB1

(AB+BC)/2 >BB1   что и требовалось доказать.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения, что длина отрезка bb1 меньше половины суммы длин сторон ab и bc, мы можем использовать неравенство треугольника.

Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника abc, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

ab + bc > ac ab + ac > bc bc + ac > ab

В данном случае у нас есть треугольник abc, в котором проведена медиана bb1. Медиана биссектриса треугольника и делит сторону, к которой она проведена, пополам. Таким образом, отрезок bb1 делит сторону ac пополам, то есть bb1 = 0.5 * ac.

Теперь мы можем заменить значение bb1 в неравенстве треугольника:

ab + bc > ac

ab + bc > 2 * bb1

ab + bc > 2 * 0.5 * ac

ab + bc > ac

Таким образом, мы видим, что неравенство треугольника выполняется и для отрезка bb1:

ab + bc > 2 * bb1

Из этого следует, что длина отрезка bb1 меньше половины суммы длин сторон ab и bc:

bb1 < (ab + bc) / 2

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике abc, проведенная медиана bb1 имеет длину, которая меньше половины суммы длин сторон ab и bc.