Question

Найти в градусах острый угол между плоскостями: 5x - 3y + 4z - 6 = 0 і 10x + y + 7z + 8 = 0.

Answer 1

Для того чтобы найти угол между плоскостями, нужно найти их нормальные векторы и затем воспользоваться формулой для нахождения угла между векторами.

Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор этой плоскости.

Таким образом, для первой плоскости у нас есть нормальный вектор (5, -3, 4), а для второй - (10, 1, 7).

Теперь найдем угол между этими векторами. Формула для нахождения угла между векторами в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

cos(угол) = (a * b) / (|a| * |b|),

где a и b - векторы, * - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - их длины.

Подставим наши векторы в эту формулу:

cos(угол) = (5*10 + (-3)*1 + 4*7) / (sqrt(5^2 + (-3)^2 + 4^2) * sqrt(10^2 + 1^2 + 7^2)),

cos(угол) = (50 - 3 + 28) / (sqrt(50 + 9 + 16) * sqrt(100 + 1 + 49)),

cos(угол) = 75 / (sqrt(75) * sqrt(150)),

cos(угол) = 75 / (5√3 * 5√6),

cos(угол) = 75 / (25√18),

cos(угол) = 3 / √18,

cos(угол) = √2 / 3.

Теперь найдем угол:

угол = arccos(√2 / 3),

угол ≈ 35.26 градусов.

Таким образом, острый угол между данными плоскостями составляет примерно 35.26 градусов.