Question

Help, please! В треугольнике АВС точка D на стороне ВС и точка F на стороне АС расположены так, что ВD:DC=3:2, AF:FC=3:4. Отрезки AD и BF пересекаются в точке Р. Найдите отношение АР:PD.

Answer 1

Есть как минимум 2 способа решить эту задачу - с помощью теоремы Менелая и с помощью теоремы о пропорциональных отрезках. Первый способ проще, второй понятнее. Решим, скажем вторым способом.
По условию BD=3x, DC=2x, AF=3y, FC=4y.

Возьмем на отрезке FC точку E так, чтобы DE║ BF. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу BCA  и параллельным прямым BF и DE, FE:EC=BD:DC=3:2. То есть если отрезок FC разделить на 5 равных отрезков, три из них покроют отрезок FE, остальные два - EC. Поэтому EF=(3/5)FC=(3/5)4y=12y/5. По теореме о пропорциональных отрезках, примененной к углу DAC и параллельным прямым PF и DE, AP:PD=AF:FE=(3y)/(12y/5)=5/4.

Ладно, уговорили, сделаем задачу и первым способом. Кто не знает теорему Менелая, разобравшись в решении, поймет суть этой теоремы (а можно залезть в интернет и найти точную формулировку;  можно и умную книжку поискать на своей книжной полке). Применим теорему Менелая к треугольнику ADC и прямой BF:

(AP/PD)·(DB/BC)·(CF/FA)=1⇒AP/PD=(BC/DB)·(FA/CF)=(5/3)·(3/4)=5/4

Ответ: 5/4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство подобных треугольников.

Поскольку BD:DC=3:2, то точка D делит сторону BC в отношении 3:2. Аналогично, поскольку AF:FC=3:4, то точка F делит сторону AC в отношении 3:4.

Посмотрим на треугольники ADR и BFR. Они подобны, так как у них соответственные углы равны (по свойству пересекающихся прямых).

Теперь мы можем использовать свойство подобных треугольников: соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

Так как AD:DC=3:2, а BF:FC=3:4, то AR:RD=3:2 и BR:RF=3:4.

Мы знаем, что AR+RD=AD и BR+RF=BF. Таким образом, мы можем выразить отношение AR:RD через отношение AD:DC и BF:FC:

AR:RD = AD:DC / (AD:DC + BF:FC) = 3/2 / (3/2 + 3/4) = 3/2 / (6/4 + 3/4) = 3/2 / 9/4 = 3/2 * 4/9 = 2/3

Таким образом, отношение АР:PD равно 2:3.