Question

З точки до площини трикутника зі сторонами 13,14 і 15 см проведено перпендикуляр основа якого вершина кута протилежного до сторони 14 см.ВІдстань від даної точки до цієї сторони дорінює 20 см.Знайдіть відстань від точки до площини трикутника

Answer 1

ДВ=16см

обозначим вершины треугольника А В С, а точку от которой проведён перпендикуляр Д к вершине В: перпендикуляр ДВ. Наклонная, проведённая к стороне АС пересекает её в точке Н. Нам нужно найти перпендикуляр ДВ. Для этого проведём от вершины В высоту ВН к стороне АС=14см. Высота ВН является проекцией наклонной ДН. Найдём высоту через площадь ∆АВС по формуле Герона:

$s = \sqrt{p(p - ab)(p - bc)(p - aс)}$

где р- полупериметр, а ab, bc, ac - стороны ∆АВС.

Найдём периметр треугольника:

Р=13+14+15=42; Р/2=42÷2=21см

$s = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = \sqrt{84}$

Итак: S=84см².

Теперь найдём ВН, зная площадь и сторону треугольника, используя формулу площади:

S=1/2×АС×ВН

ВН=S÷1/2÷AC=84×2÷14=168÷14=12см

Наклонная ДН, её проекция на площадь треугольника ВН и перпендикуляр ДВ образуют прямоугольный треугольник с катетами

ВН и ДВ и гипотенузой ДН. Найдём искомый катет, он же перпендикуляр ДВ по теореме Пифагора:

ДВ²=ДН²– ВН²=20²-12²=400-144=256; ДВ=√256=16см

Answer 2

Для розв'язання цього завдання, ми можемо скористатися теоремою Піфагора та властивостями перпендикуляра у прямокутному трикутнику.

Ми знаємо, що сторони трикутника мають довжини 13, 14 і 15 см. Перпендикуляр проведений до основи трикутника з вершиною, яка є кутом протилежним до сторони довжиною 14 см. Відстань від даної точки до цієї сторони дорівнює 20 см.

Знайдемо довжину основи трикутника

За теоремою Піфагора, в квадраті гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сума квадратів його катетів. У нашому випадку, гіпотенуза має довжину 15 см, а катети мають довжини 13 см і 14 см. Тому:

15^2 = 13^2 + 14^2

225 = 169 + 196

225 = 365

Це рівняння несправедливе, що означає, що трикутник не є прямокутним. Тому, ми маємо просто трикутник зі сторонами 13, 14 і 15 см.

Знайдемо висоту трикутника

Відстань від даної точки до основи трикутника дорівнює 20 см. Ця відстань є висотою трикутника, опущеною на основу.

Знайдемо площу трикутника

Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи та висоти. У нашому випадку, основа трикутника має довжину 14 см, а висота - 20 см.

Площа трикутника = (14 * 20) / 2 = 140 кв. см.

Знайдемо відстань від точки до площини трикутника

Відстань від точки до площини трикутника можна знайти за допомогою формули для об'єму піраміди, якщо ми знаємо її площу та висоту. Оскільки підставляти величини в даному випадку буде досить складно, розглянемо альтернативний спосіб знаходження цієї відстані.

Ми можемо розбити трикутник на два прямокутних трикутники, провівши від даної точки перпендикуляри до сторін трикутника. Відстань від точки до площини трикутника буде рівна сумі відстаней до основ двох прямокутних трикутників.

Знайдемо відстань до першого прямокутного трикутника

Для цього прямокутного трикутника, ми маємо катети з довжинами 13 см і 20 см. Застосуємо теорему Піфагора:

a^2 + b^2 = c^2

13^2 + 20^2 = c^2

169 + 400 = c^2

569 = c^2

c ≈ 23.85 см

Знайдемо відстань до другого прямокутного трикутника

Для цього прямокутного трикутника, ми маємо катети з довжинами 14 см і 20 см. Застосуємо теорему Піфагора:

a^2 + b^2 = c^2

14^2 + 20^2 = c^2

196 + 400 = c^2

596 = c^2

c ≈ 24.41 см

Знайдемо суму відстаней

Відстань від точки до площини трикутника складається з суми відстаней до основ двох прямокутних трикутників:

23.85 + 24.41 ≈ 48.26 см.

Тому, відстань від точки до площини трикутника приблизно дорівнює 48.26 см.