Question

З вершини прямого кута прямокутного трикутника проведені висота і медіана, які відповідно дорівнюють 12 см і 15 см. Знайдіть сторони і гострі кути заданого трикутника? Подскажите какие теоремы здесь используются?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Медіана в прямокутному трикутнику, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи (медіана - радіус описаного кола, гіпотенуза - діаметр описаного кола).

Answer 2

Розрахунок сторін та гострих кутів прямокутного трикутника

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися теоремою Піфагора та властивостями медіани та висоти прямокутного трикутника.

1. Теорема Піфагора: - Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи (сторони, що лежить проти прямого кута) дорівнює сумі квадратів довжин інших двох сторін. Формула теореми Піфагора виглядає так: \(c^2 = a^2 + b^2\), де \(c\) - гіпотенуза, \(a\) та \(b\) - катети.

2. Властивості медіани та висоти прямокутного трикутника: - Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить гіпотенузу на дві рівні частини. - Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, утворює два прямі кути з гіпотенузою.

Розв'язок:

Нехай \(a\) та \(b\) - катети, а \(c\) - гіпотенуза прямокутного трикутника.

За теоремою Піфагора маємо: \[c^2 = a^2 + b^2\]

Також, за властивостями медіани та висоти: - Медіана ділить гіпотенузу на дві рівні частини, тому \(a = b = \frac{c}{2}\). - Висота утворює два прямі кути з гіпотенузою, тому ми можемо скористатися трикутниками, поділеними висотою на дві рівні частини.

Отже, маємо систему рівнянь: \[c^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2\] \[c^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2}{4}\] \[c^2 = \frac{c^2}{2}\] \[c^2 = 2 \cdot \frac{c^2}{2}\] \[c^2 = 2a^2\]

Звідси отримуємо: \[c = a\sqrt{2}\]

Таким чином, сторони прямокутного трикутника відомі: \(a\), \(a\), \(a\sqrt{2}\).

Розрахунок гострих кутів:

Оскільки прямокутний трикутник має два гострі кути, то кожен з них дорівнює \(\arcsin\left(\frac{a}{c}\right)\).

Відповідь:

Таким чином, сторони та гострі кути прямокутного трикутника знайдені: - Сторони: a, a, a√2 - Гострі кути: **\(\ar