Question

В треугольнике ABC, AB=30, Ac=20, bc=25: ae - биссектриса угла a. Из точки e проведена параллельная прямая к стороне ac, которая пересекает сторону ab в точке k. Найдите периметр четырехугольника acek​

Answer 1

Ответ:

Периметр четырехугольника АСЕК равен 54 ед.

Объяснение:

В треугольнике ABC, AB = 30, AC = 20, BC = 25; AE - биссектриса угла A. Из точки E проведена параллельная прямая к стороне AC, которая пересекает сторону AB в точке K. Найдите периметр четырехугольника ACEK.

Дано: ΔАВС;

AB = 30, AC = 20, BC = 25;

​AE - биссектриса;

ЕК || AC.

Найти: Р(АСЕК)

Решение:

1. ​AE - биссектриса;

Свойство биссектрисы:

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

$\displaystyle \frac{EB}{EC} =\frac{AB}{AC}$

Пусть ЕВ = х, тогда ЕС = 25 - х

$\displaystyle \frac{x}{25-x} =\frac{30}{20}\\\\20x=750-30x\\\\50x=750\;\;\;\;\;|:50\\\\x=15$

⇒ EB = 15;  EC = 10.

2. Рассмотрим ΔКВЕ и ΔАВС.

• Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔКВЕ ~ ΔАВС

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{BE}{BC}=\frac{KE}{AC} \\\\\frac{15}{25} =\frac{KE}{20}\\ \\KE=\frac{15\cdot20}{25} \\\\KE=12$

3. Рассмотрим ΔАКЕ.

∠1 = ∠2 (условие)

∠3 = ∠2 (накрест лежащие при КЕ || AC и секущей АЕ)

⇒ ∠1 = ∠3

• Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

⇒ АК = КЕ = 12

4. Рассмотрим АСЕК.

• Периметр - сумма длин всех сторон.

Р(АСЕК) = АК + КЕ + ЕС + АС = 12 + 12 + 10 + 20 = 54

Периметр четырехугольника АСЕК равен 54 ед.

Answer 2

Для начала найдем длину биссектрисы угла A.

Известно, что биссектриса делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Таким образом, мы можем найти отношение длин отрезков: AB/AE = BC/CE

Подставим известные значения: 30/AE = 25/20

Упростим уравнение: AE = 600/25 = 24

Теперь найдем длину отрезка EK.

Так как прямая, проведенная через точку E, параллельна стороне AC, то угол AKE является вертикальным, и его дополнительный угол равен углу A.

Так как угол A является вертикальным, то он равен половине угла C.

Угол C находим по теореме косинусов: cos(C) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC) cos(C) = (20^2 + 25^2 - 30^2) / (2 * 20 * 25) cos(C) = (400 + 625 - 900) / (2 * 20 * 25) cos(C) = 125 / (2 * 20 * 25)

Найдем угол C: C = arccos(125 / (2 * 20 * 25))

Теперь найдем угол A: A = C / 2

Теперь мы можем найти длину отрезка EK, используя теорему синусов: EK / sin(A) = AE / sin(C)

Подставим значения: EK / sin(C / 2) = 24 / sin(C)

Теперь найдем длину отрезка EK: EK = 24 * sin(C / 2) / sin(C)

Теперь найдем периметр четырехугольника ACEK: P = AE + AC + EK + KC P = 24 + 20 + EK + EK

Подставим найденное значение EK и вычислим периметр.