Question

√3cos²3x+sin6x-√3sin²3x=0

Answer 1

Ответ:

x = n·2π, n ∈ Z

Объяснение:

Раскроем скобки:

3cos²(3x) + sin(6x) - 3sin²(3x) = 0

Раскроем степень двойки:

3cos(3x)·cos(3x) + sin(6x) - 3sin(3x)·sin(3x) = 0

Приравняем слагаемые к нулю:

3cos(3x)·cos(3x) = 3sin(3x)·sin(3x)

Извлечем из обеих частей корень:

cos(3x) = sin(3x)

Для того чтобы получить решение, сравним значения функции в обеих частях уравнения и заменим значения аргумента функции на которые дает равенство этих функций.

cos(3x) = sin(3x)

3x = 3x + n·2π, n ∈ Z

x = n·2π, n ∈ Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение подробно.

Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

√3cos²3x + sin6x - √3sin²3x = 0

Для начала, давайте приведем уравнение к более простому виду. Мы можем заменить sin²3x на 1 - cos²3x, используя тригонометрическую тождественность sin²θ + cos²θ = 1.

√3cos²3x + sin6x - √3(1 - cos²3x) = 0

Теперь распределим √3 на каждый член уравнения:

√3cos²3x + sin6x - √3 + √3cos²3x = 0

Объединим одинаковые члены:

2√3cos²3x + sin6x - √3 = 0

Теперь у нас есть уравнение с двумя тригонометрическими функциями: cos²3x и sin6x. Чтобы решить его, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Давайте рассмотрим второй член уравнения: sin6x. Мы можем заменить его через удвоенный угол, используя тригонометрическое тождество sin2θ = 2sinθcosθ.

sin6x = 2sin3xcos3x

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

2√3cos²3x + 2sin3xcos3x - √3 = 0

Давайте продолжим и приведем подобные члены:

2√3cos²3x + 2sin3xcos3x = √3

Теперь мы можем разделить оба члена на 2:

√3cos²3x + sin3xcos3x = √3/2

Для упрощения давайте заменим cos²3x на 1 - sin²3x, используя тригонометрическую тождественность cos²θ = 1 - sin²θ:

√3(1 - sin²3x) + sin3xcos3x = √3/2

Распределим √3 на каждый член:

√3 - 3sin²3x + sin3xcos3x = √3/2

Теперь мы имеем уравнение с одной тригонометрической функцией: sin²3x. Мы можем использовать другое тригонометрическое тождество, чтобы заменить sin3xcos3x:

sin3xcos3x = (1/2)sin6x

Подставим это обратно в уравнение:

√3 - 3sin²3x + (1/2)sin6x = √3/2

Теперь у нас есть уравнение только с sin²3x:

-3sin²3x + (1/2)sin6x = √3/2 - √3

Мы можем привести уравнение к полиномиальному виду, заменив sin6x на 2sin3xcos3x:

-3sin²3x + (1/2)(2sin3xcos3x) = √3/2 - √3

-3sin²3x + sin3xcos3x = √3/2 - √3

Теперь мы можем привести данное уравнение к квадратному виду, заменив sin3x на переменную, например, t:

-3t² + tc = √3/2 - √3

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с использованием стандартных методов решения квадратных уравнений. Однако, следует помнить, что данное уравнение может иметь несколько решений или не иметь их вовсе. Чтобы решить это уравнение, нам необходимо продолжить его анализ или применить численные методы, такие как метод Ньютона или бисекции.