Question

Побудуйте переріз куба АВСDA1B1C1D1 площиною, що проходить через вершини A, C і середину ребра BB1. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо AB = m.

Answer 1

Ответ:

Площадь S сечения куба равна (m²√6)/4 единиц квадратных.

Периметр Р сечения куба равен m(√2+√5).

Объяснение:

Часть 1. Построение сечения куба.

• Аксиома стереометрии: через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, можно провести плоскость и при том только одну.

Мы имеем 3 точки, не лежащие на одной прямой: А, С и Н - середина ВВ₁, значит, по вышеуказанной аксиоме стереометрии, через эти три точки мы можем провести плоскость и при этом только одну. Определим, по каким отрезкам плоскость (АСН) будет пересекать плоскости граней куба.

1) А ∈ (АВС), С ∈ (АВС) ⇒ (АСН) ∩ (АВС) = АС.

2) А ∈ (АВВ₁), Н ∈ (АВВ₁) ⇒ (АСН) ∩ (АВВ₁) = АН.

3) С ∈ (ВСС₁), Н ∈ (ВСС₁) ⇒ (АСН) ∩ (ВСС₁) = СН.

Проводим прямые АС, СН и АН. Плоскость, заключённая внутри этих прямых, является искомой секущей плоскостью куба.

АС ∈ (АСН), АН ∈ (АСН), СН ∈ (АСН) ⇒ (АСН) - искомое сечение куба.

Часть 2. Нахождение площади и периметра сечения куба.

Сечение куба - треугольник. Площадь произвольного треугольника мы можем найти по формуле S = 1/2*a*hₐ, где а - сторона треугольника, hₐ - высота, проведённая к этой стороне.

Проведём HH₁ ⊥ AC.

HH₁ ⊥ AC ⇒ HH₁ высота ΔАСН. Тогда площадь ΔАСН мы можем найти следующим образом:

S = 1/2 * AC * HH₁

• Грани куба - квадраты.

АВСDA₁B₁C₁D₁ - куб ⇒ АВСD - квадрат.

• Диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на корень из двух.

АВСD - квадрат, АС - диагональ ⇒ АС = АВ*√2 = m√2

• Все рёбра куба равны между собой.

АВСDA₁B₁C₁D₁ - куб ⇒ АВ = ВС = ВВ₁.

Н - середина ВВ₁, тогда НВ = 1/2*ВВ₁ = 1/2m.

Рассмотрим ΔНВС - прямоугольный (∠НВС = 90°).

По теореме Пифагора НС² = НВ²+ВС².

$\displaystyle \bf HC = \sqrt{HB^2+BC^2} =\sqrt{\Big(\frac{1}{2}m\Big)^2+m^2 } = \sqrt{1\frac{1}{4}m^2 }=\sqrt{\frac{5}{4}m^2 }$

• Признак равенства прямоугольных треугольников: если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

ΔАВН и ΔНВС - прямоугольные (т.к. ∠НВА=∠НВС=90°), АВ=ВС (т.к. фигура - куб), НВ - общая сторона ⇒ ΔНВА=ΔНВС.

Из равенства треугольников ΔНВА и ΔНВС имеем АН=НС=√(5/4m²).  

Рассмотрим ΔАНС - равнобедренный (АН=НС).

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, и биссектрисой.

ΔАНС - равнобедренный, НН₁ - высота ⇒ НН₁ - медиана и биссектриса.

Так как НН₁ - медиана, АН₁=Н₁С = 1/2*АС = 1*2*m√2 = (m√2)/2

Рассмотрим ΔНН₁С - прямоугольный (∠НН₁С = 90°).

По теореме Пифагора НС² = Н₁С²+НН₁², отсюда:

$\displaystyle \bf HH_1=\sqrt{HC^2-H_1C^2} = \sqrt{\Big(\sqrt{1\frac{1}{4}m^2 }\Big)^2-\Big(\frac{m\sqrt{2} }{2}\Big)^2 } = \sqrt{\frac{5m^2}{4}-\frac{2m^2}{4} }=\\\\ =\sqrt{\frac{5m^2-2m^2}{4} }=\sqrt{\frac{3m^2}{4} } =\frac{m\sqrt{3} }{2}$

Мы имеем НН₁ и АС. Подставляем в формулу нахождения площади нашего треугольника:

$\bf \displaystyle S_{AHC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot HH_1 = \frac{1}{2}\cdot m\sqrt{2} \cdot\frac{m\sqrt{3} }{2} =\frac{m^2\sqrt{6} }{4}$

Площадь S сечения куба равна (m²√6)/4 единиц квадратных.

• Периметр треугольника равен сумме трёх его сторон.

$\displaystyle \bf P_{ACH} = AC + HC+AH=\sqrt{\frac{5}{4}m^2 }+ \sqrt{\frac{5}{4}m^2 } +m\sqrt{2 }= 2\cdot \frac{m\sqrt{5} }{2} +m\sqrt{2}=\\\\ =m\sqrt{2}+m\sqrt{5}=m(\sqrt{2}+\sqrt{5})$

Периметр Р сечения куба равен m(√2+√5).

#SPJ1

Answer 2

Означення: Дано куб АВСda1b1c1d1 із ребром аb = m.

Нехай F – точка на ребрі da1, яка поділяє його відношенням Фа1 / а1d=0,5

1. Знайдемо координати точки F: Знаходимо координати ребра da1: da1: x = x_{d} + k * (x_{a1} - x_{d}) y = y_{d} + k * (y_{a1} - y_{d}) z = z_{d} + k * (z_{a1} - z_{d}) Підставляємо значення k = 0,5: x = x_{d} + 0,5 * (x_{a1} - x_{d}) y = y_{d} + 0,5 * (y_{a1} - y_{d}) z = z_{d} + 0,5 * (z_{a1} - z_{d})

Для цього: x = x_{d} + 0,5 * (x_{a1} - x_{d}) = 0 + 0,5 * (1 - 0) = 0,5 y = y_{d} + 0,5 * (y_{a1} - y_{d}) = 0 + 0,5 * (1 - 0) = 0,5 z = z_{d} + 0,5 * (z_{a1} - z_{d}) = 0 + 0,5 * (1 - 0) = 0,5

Координати точки F: F(0,5; 0,5; 0,5)

2. Знайдемо координати точок a, c і b1: Координати точки a: a(0; 0; 0) Координати точки c: c(0; m; m) Координати точки b1: b1(0; m; 0)

3. Знайдемо рівняння площини, що проходить через точки a, c і F: a(x - x_{c})(y_{F} - y_{c})(z - z_{c}) + (y - y_{c})(x_{F} - x_{c})(z - z_{c}) + (z - z_{c})(x_{F} - x_{c})(y - y_{c}) = 0

Підставляємо значення координат точок: 0(x - 0)(0,5 - m)(z - m) + (y - m)(0,5 - 0)(z - m) + (z - m)(0,5 - 0)(y - m) = 0

4. Знайдемо рівняння площини, що проходить через точки a, c і середину ребра b-b1: a(x - x_{c})(y - y_{b1})(z_{b} - z_{b1}) + (y_{c} - y_{b1})(x - x_{b1})(z_{b} - z_{b1}) + (z - z_{b1})(x_{c} - x_{b1})(y - y_{b1}) = 0

Підставляємо значення координат точок: 0(x - 0)(y - m)(0,5 - 0) + (m - m)(x - 0)(0,5 - 0) + (z - 0)(0 - 0)(y - m) = 0

Після розв'язку отриманого системи рівнянь, отримаємо рівняння площини через вершини a, c і середину ребра bb1.

5. Знаходимо периметр перерізу: Периметр перерізу можна знайти, склавши довжини всіх ребер, які утворюють переріз. Довжина ребра aa1: = √(x_{a} - x_{a1})^2 + (y_{a} - y_{a1})^2 + (z_{a} - z_{a1})^2 Довжина ребра ac: = √(x_{a} - x_{c})^2 + (y_{a} - y_{c})^2 + (z_{a} - z_{c})^2 Довжина ребра cc1: = √(x_{c} - x_{c1})^2 + (y_{c} - y_{c1})^2 + (z_{c} - z_{c1})^2 Довжина ребра cb: = √(x_{c} - x_{b})^2 + (y_{c} - y_{b})^2 + (z_{c} - z_{b})^2 Довжина ребра ba1: = √(x_{b} - x_{a1})^2 + (y_{b} - y_{a1})^2 + (z_{b} - z_{a1})^2 Периметр перерізу: P = aa1 + ac + cc1 + cb + ba1

6. Знаходимо площу перерізу: Площа перерізу може бути знайдена як площа певної геометричної фігури, яку утворюють ребра, що утворюють переріз куба. Наприклад, якщо переріз має форму прямокутника, то його площу можна знайти як добуток його довжини та ширини. Площа перерізу: S = Довжина ребра, паралельного площині перерізу * Ширина перерізу Довжина ребра, паралельного площині перерізу можна знайти, склавши довжини ребер, які паралельні площині перерізу та принаймні одному з інших ребер перерізу: Довжина паралельного ребра: = √(x_{c} - x_{c1})^2 + (y_{c} - y_{c1})^2 + (z_{c} - z_{c1})^2 Ширина перерізу: m (довжина ребра ab) Площа перерізу: S = Довжина паралельного ребра * Ширина перерізу

Отже, для знаходження периметру та площі перерізу куба АВСda1b1c1 потрібно скласти рівняння площин, знайти координати точки F, знайти довжини всіх ребер, що утворюють переріз, та обчислити периметр та площу, використовуючи отримані значення.

Answer 3

Побудуємо переріз куба АВСda1b1c1d1.

1. Перш за все, позначимо вершини куба: A, B, C, d, a1, b1, c1, d1. 2. З'єднаємо вершини a і c прямою лінією. 3. З'єднаємо вершину b з серединою ребра bb1 прямою лінією, отримуючи пряму, яка проходить через вершини b і b1. 4. З'єднаємо вершину a1 з вершиною c1 прямою лінією, отримуючи пряму, яка проходить через вершини a1 і c1. 5. Знайдемо точку перетину цих двох прямих, яка буде являти собою вершину перерізу куба. 6. Опустимо перпендикуляри з вершини b1 на пряму, що проходить через вершину a і c, та з вершини d1 на пряму, що проходить через вершину a1 і c1. 7. Точки перетину перпендикулярів з прямими, що проходять через вершини b і b1, відповідно, будуть ще двома вершинами перерізу куба. 8. Отримані три вершини перерізу позначимо A', B', C'. 9. З'єднаємо вершини A' і B' прямою лінією, A' і C' - прямою лінією, B' і C' - прямою лінією, отримуючи площину перерізу куба.

Знайдемо периметр і площу перерізу.

Периметр перерізу - сума довжин усіх сторін перерізу. Сторони перерізу - відрізки AB', AC' і BC'.

Знайдемо довжину сторони AB': AB' = AB + A'B' = AB + BC' = √(ab² + b¹b² + a¹c¹) Аналогічно: AC' = √(ac² + a¹d¹ + c¹d¹) BC' = √(bc² + c¹d¹ + b¹d¹)

Отже, периметр перерізу складає: P = AB' + AC' + BC'

Площа перерізу - площа трикутника ABC' або площа трикутника A'B'C', які є рівними. Для знаходження площі можна застосувати формулу площі трикутника за довжинами сторін:

S = √(p(p - AB')(p - AC')(p - BC')), де p - півпериметр перерізу.

Крім цього, якщо відомо довжину ребра куба (m), можна знайти значення довжини сторіни перерізу, оскільки сторона куба і сторона перерізу відносяться як аналогія розмірів куба:

m/1 = ab/AB' = ac/AC' = bc/BC'

Оскільки ab = m, то:

AB' = m/√(ab² + b¹b² + a¹c¹) AC' = m/√(ac² + a¹d¹ + c¹d¹) BC' = m/√(bc² + c¹d¹ + b¹d¹)

Таким чином, отримали формули для знаходження периметра та площі перерізу куба у виразах з відомим розміром ребра куба (m).