Question

Полная поверхность правильной n-угольной пирамиды в 4 раза больше площади её основания. Найдите двугранный угол при основании пирамиды. Решение с рисунком. ​

Answer 1

Проекции боковых граней покрывают основание.

Отношение проекции к исходной площади - косинус двугранного угла.

Правильная пирамида, двугранные углы при основании равны.

Sбок/Sосн = 1/cosф

Sполн/Sосн =(Sбок+Sосн)/Sосн = 1/cosф +1 =4

=> cosф=1/3 => ф=arccos(1/3)

Answer 2

Для начала обозначим сторону основания пирамиды через a. Площадь основания равна S = a^2.

Также обозначим высоту пирамиды через h. Тогда полная поверхность пирамиды равна P = S + n * a * h / 2, где n - количество боковых граней пирамиды.

По условию задачи, полная поверхность пирамиды в 4 раза больше площади её основания, то есть P = 4S. Подставляя значения P и S в уравнение, получаем:

4S = S + n * a * h / 2

3S = n * a * h / 2

6S = n * a * h

Далее, воспользуемся формулой для нахождения высоты пирамиды через стороны бокового ребра b, основания a и радиус r вписанной сферы:

h = sqrt(b^2 - r^2)

С учетом того, что сторона основания равна a, а радиус вписанной сферы равен r = a / (2 * tan(π/n)), получаем:

h = sqrt(b^2 - (a^2 / (4 * tan(π/n))^2)

Теперь подставляем это значение высоты в предыдущее уравнение:

6S = n * a * sqrt(b^2 - (a^2 / (4 * tan(π/n))^2)

Из этого уравнения можно найти сторону бокового ребра b. Для этого необходимо знать значение площади основания пирамиды S и количество ее боковых граней n.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный стороной основания и двумя боковыми ребрами. Пусть B - вершина пирамиды, AB и CB - боковые ребра пирамиды, AC - сторона основания пирамиды.

Тогда двугранный угол при основании пирамиды равен углу A в этом треугольнике.

Найдем угол A, применив соотношение тригонометрических функций к соответствующему прямоугольному треугольнику ABС.

Таким образом, найдя значения стороны бокового ребра b и угла A, можно решить задачу.

Для наглядности решения можно представить рисунок пирамиды со всеми указанными обозначениями.