Question

Три стороны выпуклого четырёхугольника равны, а два его угла между ними равны 60° и 90°. Найдите два других угла этого четырёхугольника​

Answer 1

Ответ:

Два других угла этого четырёхугольника равны 75° и 135°.

Объяснение:

Требуется найти два других угла этого четырёхугольника​.

Дано: ABCD - четырехугольник.

∠С = 90°; ∠D = 60°;

BC = CD = AD

Найти: ∠А и ∠В.

Решение:

Соединим А и С.

1. Рассмотрим ΔACD.

CD = AD (условие)

⇒ ΔACD - равнобедренный.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠DAC = ∠DCA

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠DAC = ∠DCA = (180° - ∠D) : 2 = (180° - 60°) : 2 = 60°

• Если в треугольнике все углы равны 60°, то этот треугольник равносторонний.

⇒ CD = AD = AC.

2. Рассмотрим ΔАВС.

ВС = CD (условие)

АС = CD (п.1)

⇒ ВС = АС

ΔАВС - равнобедренный.

∠1 = ∠С - ∠ACD = 90° - 60° = 30°

∠2 = ∠3 = (180° - ∠1) : 2 = (180° - 30°) : 2 = 75° (углы при основании равнобедренного треугольника)

3. Найдем ∠А и ∠В.

∠В = ∠2 = 75°

∠А = ∠1 + ∠CAD = 75° + 60° = 135°

Два других угла этого четырёхугольника равны 75° и 135°.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами выпуклых четырехугольников и формулами для суммы углов в четырехугольнике.

Свойства выпуклых четырехугольников:

1. Сумма всех углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°. 2. Противоположные углы в выпуклом четырехугольнике равны. 3. Сумма двух противоположных углов в выпуклом четырехугольнике равна 180°.

Пусть углы, между которыми равны 60° и 90°, обозначены как A и B соответственно. В таком случае, мы можем записать следующие уравнения:

Уравнение для суммы всех углов в четырехугольнике: A + B + C + D = 360°

Уравнение для суммы двух противоположных углов: A + C = 180° B + D = 180°

Так как три стороны четырехугольника равны, мы можем предположить, что сторона между углами A и B также равна. Пусть эта сторона обозначается как x.

Теперь мы можем решить систему уравнений, используя вышеуказанные свойства:

A + B + C + D = 360° A + C = 180° B + D = 180° C = x D = x

Подставим значения C и D в первое уравнение:

A + B + x + x = 360° A + B + 2x = 360°

Теперь мы можем выразить A и B через x:

A = 360° - B - 2x B + D = 180° B + x = 180° B = 180° - x

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в первое уравнение:

A + B + 2x = 360° (360° - B - 2x) + B + 2x = 360° 360° - B + B = 360° 360° = 360°

Это уравнение верно для любых значений x, A и B.

Таким образом, два других угла этого четырехугольника могут иметь любые значения, при условии, что их сумма равна 360°.