Question

Сторони трикутника АВС дорівнюють 10см, 17см і 21см. З вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр АМ завдовжки 15см. Знайдіть відстань від точки М до сторони ВС трикутника АВС.

Answer 1

Ответ:

Розв'язання: Маємо трикутник ABC зі сторонами:

AB=17 см, BC=21 см і AC=10 см.

За властивістю трикутника: проти більшої сторони лежить більший кут.

Отже, за умовою, AD⊥(ABC), тому (за властивістю) вона перпендикулярна до кожної прямої, що належить площині ABC (трикутнику ABC).

Відстань від точки D до сторони BC трикутника – перпендикуляр опущений з точки D на пряму BC, тобто DM⊥BC.

Проведемо відрізок AM. Оскільки AD – перпендикуляр до площини ABC, то DM – похила (точка M – основа похилої), а відрізок AM – проекція похилої на площину ABC. Так як DM⊥BC, то за теоремою «про три перпендикуляри» (якщо відрізок, який проведений через основу похилої перпендикулярний до похилої, то він перпендикулярний і до її проекції, і навпаки), тобто AM⊥BC.

Звідси слідує, що AM – висота трикутника ABC, проведена до сторони BC.

Розглянемо трикутник ABC. Знайдемо його півпериметр і площу за формулою Герона (за трьома відомими сторонами):

– півпериметр ΔABC;– площа ΔABC.

Знайдемо висоту AM трикутника ABC:

Розглянемо трикутник AMD. Оскільки AD⊥(ABC), то AD⊥AM, тому ΔAMD – прямокутний (∠DAM=90), де AD=15 см – катет і AM=8 см – катет.

За теоремою Піфагора знайдемо довжину відрізка, гіпотенузи DM (відстань від точки K до сторони BC трикутника ABC):

Відповідь: 17 см – Б.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися властивістю подібних трикутників. Спочатку давайте знайдемо висоту трикутника ABC, яку ми позначимо як h.

Для трикутника ABC, сторони дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Це є питагорівським трикутником, оскільки \(10^2 + 17^2 = 100 + 289 = 389\) і \(21^2 = 441\). Таким чином, трикутник ABC є прямокутним та гострокутним.

Знайдемо висоту трикутника ABC, проведену з вершини прямого кута (припустимо, що прямий кут знаходиться при вершині A). Ми можемо використовувати співвідношення для прямокутних трикутників: \(h^2 + (\frac{b}{2})^2 = c^2\), де h - висота, b - катет, c - гіпотенуза.

Отже, \(h^2 + (\frac{10}{2})^2 = 17^2\), \(h^2 + 25 = 289\), \(h^2 = 264\).

Тепер визначимо відстань від точки M до сторони BC. Ми знаємо, що трикутники AMB і CMB подібні до трикутника ABC, оскільки вони мають спільний кут і відношення сторін AM і CM дорівнює відношенню сторін AB і CB.

Знайдемо це відношення:

\(\frac{AM}{AB} = \frac{CM}{CB}\).

Тепер підставимо відомі значення:

\(\frac{15}{21} = \frac{CM}{17}\).

З цього випливає, що \(CM = \frac{15}{21} \times 17\).

Тепер виразимо відстань від точки M до сторони BC як \(BM = BC - CM\):

\(BM = 17 - \frac{15}{21} \times 17\).

Вирахуємо це значення:

\(BM = 17 - \frac{15}{21} \times 17\).

\(BM = 17 - \frac{15}{3} = 17 - 5 = 12\) см.

Отже, відстань від точки M до сторони BC трикутника ABC дорівнює 12 см.