Question

На стороне АС треугольника АВС выбрана точка N так, что AN:NC=3:2. Найдите площадь треугольника ABN , если площадь треугольника АВС равна 15.​

Answer 1

Ответ:

AC у нас основание и оно равно 3+7=10 см

Значит высота треугольника равна

h=2*20/10=4 см

Т.к. высота у треугольников ABC и BCD общая, находим площадь ∆BCD

Sbcd=(1/2)*4*7=14 см^2

Объяснение:

(Вроде так. это не точно, я не совсем просто разбираюсь в этом)

Answer 2

Для решения задачи нам нужно использовать свойство подобных треугольников, а именно то, что отношение длин сторон подобных треугольников равно отношению их площадей в квадрате.

Обозначим длины сторон треугольников: \(AB = a\), \(BC = b\), \(AC = c\), \(AN = 3x\) и \(NC = 2x\), где \(x\) - некоторое число.

По условию задачи, площадь треугольника \(ABC\) равна 15. Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника через длины его сторон и половину периметра:

\[S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

В нашем случае:

\[15 = \sqrt{\frac{(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)}{16}}\]

Упростим уравнение, возводя обе части в квадрат:

\[225 = \frac{(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)}{16}\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют длины сторон треугольника \(ABC\). Мы также знаем, что \(AN:NC = 3:2\), что означает, что \(AN = \frac{3}{5}c\) и \(NC = \frac{2}{5}c\).

Таким образом, \(a = \frac{3}{5}c + \frac{2}{5}c = \frac{5}{5}c = c\), \(b = \frac{2}{5}c + \frac{3}{5}c = \frac{5}{5}c = c\), и \(c = c\).

Подставим эти значения в уравнение:

\[225 = \frac{(c + c + c)(c + c - c)(c - c + c)(-c + c + c)}{16}\]

Упростим:

\[225 = \frac{27c^2}{16}\]

Теперь решим это уравнение относительно \(c\):

\[c^2 = \frac{16 \cdot 225}{27}\]

\[c^2 = \frac{16 \cdot 225}{3^3}\]

\[c^2 = \frac{16 \cdot 25 \cdot 9}{3^2}\]

\[c^2 = \frac{4^2 \cdot 5^2 \cdot 3^2}{3^2}\]

\[c^2 = 4^2 \cdot 5^2\]

\[c = 4 \cdot 5 = 20\]

Теперь мы знаем длины сторон треугольника \(ABC\): \(a = b = c = 20\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ABN\). Мы знаем, что \(AN:NC = 3:2\), поэтому \(AN = 12\) и \(NC = 8\).

Теперь, используя формулу для площади треугольника через длины его сторон, мы можем вычислить площадь треугольника \(ABN\):

\[S_{ABN} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

Подставим значения:

\[p = \frac{20 + 20 + 20}{2} = 30\]

\[S_{ABN} = \sqrt{30 \cdot (30-20) \cdot (30-20) \cdot (30-20)}\]

\[S_{ABN} = \sqrt{30 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{30000} = 100\]

Таким образом, площадь треугольника \(ABN\) равна 100.