Question

ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО, ПОМОГИТЕ!! ОТДАМ 80 БАЛЛОВ!! Площини альфа і бета паралельні. Точки А і В лежать у площині альфа, точки С і D - у площині бета. Відрізки АD i BC перетинаються в точці М. Знайдіть довжину відрізка CD, Якщо АB=16 см, АМ : МD = 2:1​

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі скористаємося властивостями подібних трикутників та розглянемо співвідношення сторін у відповідних трикутниках.

Ми знаємо, що \(\overline{AM} : \overline{MD} = 2 : 1\). Це означає, що точка \(M\) ділить відрізок \(AD\) на дві частини, причому відстань від \(A\) до \(M\) в два рази більше, ніж відстань від \(M\) до \(D\). Також ми знаємо, що \(AB = 16\) см.

Нехай \(x\) - довжина відрізка \(MD\), тоді \(2x\) - довжина відрізка \(AM\).

Ми знаємо, що \(AB = AM + MB\), або ж \(16 = 2x + x = 3x\), отже, \(x = \frac{16}{3}\).

Тепер ми маємо довжини сторін \(MD\) і \(AM\): \[MD = \frac{16}{3}\] \[AM = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}\]

Також за подібністю трикутників можемо записати співвідношення сторін \(BC\) і \(CD\). Ми знаємо, що \(\overline{BC} : \overline{CD} = \overline{AM} : \overline{MD}\). Підставимо відомі значення: \[\overline{BC} : \overline{CD} = \frac{32}{3} : \frac{16}{3}\]

Скоротимо чисельник і знаменник на \(\frac{1}{3}\): \[\overline{BC} : \overline{CD} = \frac{32}{3} : \frac{16}{3} = 2 : 1\]

Отже, \(\overline{BC} = 2x = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}\), і \(\overline{CD} = x = \frac{16}{3}\) см.

Таким чином, довжина відрізка \(CD\) дорівнює \(\frac{16}{3}\) см.