Question

10. В треугольнике ABC сторона BC разделена на 5 равных части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные AB, равной 20. Найдите отрезки этих прямых, лежащих внутри треугольника.

Answer 1

Ответ: 4; 8; 12; 16.

Объяснение:

  Т. Фалеса: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Задачу можно решать разными способами. Вот один из них.

    Пусть точки Е, М, К, Н делят сторону ВС на равные части, и ЕЕ1, ММ1, КК1 и НН1 параллельны АВ ( дано по условию).  Тогда СН1=Н1К1=К1М1=М1Е1=Е1А.

    По той же теореме Фалеса прямые, проведенные из точек Е1, М1, К1, Н1 параллельно ВС, делят АВ на равные 5 равных частей, каждая из которых равна 20:5=4, и каждый отрезок, проведенный параллельно АВ из Н, К, М, Е,  – на равные части.

Тогда НН1 параллельна АВ и равна  АВ/5, т.е. НН1=ВТ=4. Остальные отрезки пропорциональны НН1: КК1=2•НН1=2•4=8; ММ1=3•НН1=12; ЕЕ1=4•НН1=16.

Answer 2

Давайте обозначим точки деления стороны BC как D, E, F, G, а треугольник ABC как прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты.

Поскольку BC делена на 5 равных частей, каждая часть будет иметь длину BC/5. Таким образом, отрезки BD, DE, EF, FG, и GC будут равны BC/5 каждый.

Также, по условию, прямые проведены через точки деления и параллельны AB. Это создает подобие треугольников. Таким образом, соотношение длин сторон подобных треугольников будет одинаковым.

Треугольник ABC подобен треугольнику BDE, их соотношение подобия:

AB/BD = AC/DE = BC/BE

Имеем AB = 20 и BC = 20, следовательно, BD = BE = BC/5 = 20/5 = 4.

Теперь мы знаем, что отрезки BD, DE, EF, FG, и GC равны соответственно 4, 4, 4, 4, и 4.

Таким образом, отрезки этих прямых, лежащих внутри треугольника, равны 4 каждый.