Question

4. Доведіть, що відрізок, який з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата, побудованого зовнi на гіпотенузі, ділить прямий кут навпіл. Виразіть довжину цього відрізка через катети трикутника.​

Answer 1

Ответ:Для доведення цього твердження розглянемо прямокутний трикутник, що утворюється катетами і відрізком, який з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата. Позначимо катети як a і b, а відрізок, що з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата, як c.

За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників ми знаємо, що:

a^2 + b^2 = c^2.

Тепер давайте розглянемо квадрат, побудований на гіпотенузі (прямокутній трикутник, якого ми розглядаємо), і виразимо площу цього квадрата двома способами.

1. Площа квадрата дорівнює гіпотенузі в квадраті (центральна теорема арифметики):

  Гіпотенуза в квадраті = c^2.

2. Площа квадрата також може бути виражена як сума площ квадратів, побудованих на катетах:

  Площа квадрата = a^2 + b^2.

Оскільки площа квадрата одна і та ж сама, ми можемо встановити рівність обох виразів:

c^2 = a^2 + b^2.

Тепер ми бачимо, що відрізок c (який з'єднує вершину прямого кута з центром квадрата) ділить прямий кут навпіл, оскільки ми показали, що квадрат, побудований на гіпотенузі, має площу, рівну сумі площ квадратів, побудованих на катетах трикутника.

Объяснение:

Answer 2

Давайте розглянемо прямокутний трикутник ABC, де AC - гіпотенуза, а B - прямий кут.

Нехай D - вершина прямого кута, а M - центр квадрата, побудованого зовні на гіпотенузі AC. Ми хочемо довести, що відрізок DM ділить прямий кут навпіл.

Оскільки M - центр квадрата, то MA = MB = MC - це сторони квадрата, і кут AMC рівний 90 градусів, оскільки M лежить на гіпотенузі AC.

Також ми можемо помітити, що трикутник ABC поділяється квадратом на два подібних трикутники: AMC і BDC. Обидва ці трикутники є прямокутними трикутниками, оскільки AM і BM є сторонами квадрата, а AD і BD є катетами прямокутного трикутника ABC.

Тепер розглянемо трикутник ABC. За теоремою Піфагора маємо:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Також за подібністю трикутників AMC і BDC ми можемо записати відношення довжин їхніх сторін:

\[ \frac{AM}{BD} = \frac{AC}{BC} \]

Але ми знаємо, що AM = MC і BD = CD (оскільки D - вершина прямого кута, а квадрат зовнішній), тому отримуємо:

\[ \frac{MC}{CD} = \frac{AC}{BC} \]

Поділимо обидві сторони на AC:

\[ \frac{MC}{AC} = \frac{BC}{AC} \]

Знову використовуючи властивість подібних трикутників, отримуємо:

\[ \frac{DM}{AC} = \frac{BC}{AC} \]

Помножимо обидві сторони на AC:

\[ DM = BC \]

Отже, відрізок DM ділить прямий кут навпіл і його довжина рівна довжині катета BC трикутника ABC.