Question

Медиана АМ треугольника АВС лежит в плоскости а. а) Можно ли утверждать, что треугольник АВС лежит в плоскости а? б) Если вершина В этого треугольника не лежит в плоскости а, то где будет лежать точка пересечения его медианы BN и плоскости а? в) В плоскости АВС через точку В проведена прямая ВК, параллельная прямой АС. Где лежит точка пересечения прямой ВК и плоскости а?

Answer 1

а) Нет, невозможно утверждать, что треугольник ABC лежит в плоскости a, только исходя из представленной информации о медиане AM. Медиана в свою очередь пересекает плоскость треугольника в точке M, но всё это не говорит о том, лежит ли весь треугольник в этой плоскости.

б) Если вершина B не лежит в плоскости a, то медиана BN не будет лежать в плоскости a. Медианы пересекаются внутри треугольника в точке, которая делит их в отношении 2:1. Поэтому точка пересечения медиан BN и a будет находиться в том же отношении 2:1 относительно точки B.

в) Если в плоскости ABC через точку B проведена прямая BK, параллельная прямой AC, то она также будет параллельна плоскости a, если плоскость a параллельна плоскости AC. Точка пересечения прямой BK и плоскости a будет находиться на расстоянии, равном расстоянию между плоскостями a и AC, вдоль направления, параллельного этим плоскостям.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым пунктом по порядку.

а) Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Если медиана лежит в плоскости \(а\), это означает, что все её концы тоже лежат в этой плоскости. Это свойство медиан треугольника. Но оно не гарантирует, что весь треугольник лежит в этой плоскости.

б) Если вершина \(В\) не лежит в плоскости \(а\), то медиана \(BN\) точно не будет лежать в этой плоскости. Медиана проходит через вершину \(В\) и середину противоположной стороны, и поэтому она будет выходить за пределы плоскости \(а\).

в) Если в плоскости \(ABC\) через точку \(B\) проведена прямая \(BK\), параллельная прямой \(AC\), то эта прямая и плоскость \(а\) могут иметь точку пересечения только в самой точке \(B\). Это связано с тем, что прямая \(BK\) лежит в плоскости \(ABC\) и проходит через точку \(B\), которая лежит в плоскости \(а\).

Таким образом, необходимо учесть, что медиана может выходить за пределы плоскости \(а\), если вершина \(B\) не лежит в этой плоскости. Точка пересечения прямой \(BK\) и плоскости \(а\) будет находиться только в самой точке \(B\), так как прямая \(BK\) параллельна прямой \(AC\), лежащей в плоскости \(а\), и проходит через \(B\).