Question

В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 2 см больше другого. Найти гипотенузу данного треугольника

Answer 1

Пусть х - коэффициент пропорциональности.
Тогда катеты равны 2х и 3х.

Отрезки, на которые высота разбивает гипотенузу, обозначим как у и у+2.

По теореме Пифагора:
4x² + 9x² = (2y + 2)²

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:
4x² = y · (2y + 2)

Это система уравнений:
13x² = (2y + 2)²
4x² = y · (2y + 2)            

Разделим первое уравнение на второе и решим получившееся уравнение:
13/4 = (2y + 2) / y
13y = 4(2y + 2)
13y = 8y + 8
5y = 8
y = 1,6

Тогда гипотенуза:
1,6 · 2 + 2 = 3,2 + 2 = 5,2

Answer 2

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 2x, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 2 см больше другого. Пусть более короткий отрезок равен y, тогда более длинный отрезок будет равен y + 2.

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы: (3x)^2 + (2x)^2 = h^2

9x^2 + 4x^2 = h^2 13x^2 = h^2

Теперь используем высоту, чтобы выразить h через y и y + 2: h = y + (y + 2)

Таким образом, мы можем записать уравнение: 13x^2 = (2y + 2)^2

Раскроем скобки: 13x^2 = 4y^2 + 8y + 4

Теперь мы можем использовать информацию о том, что один отрезок на 2 см больше другого: 2y + 2 = y + 2 y = 2

Теперь найдем x: 3x = 3 * 2 = 6 2x = 2 * 2 = 4

Теперь мы можем найти гипотенузу: h^2 = 13x^2 h^2 = 13 * 6^2 h^2 = 468 h = √468 h ≈ 21.63

Таким образом, гипотенуза данного треугольника составляет примерно 21.63 см.