Question

Дано мимобіжні прямі a і b. Доведіть, що існує площина, яка містить пряму a і є паралельною прямій b.​

Answer 1

Объяснение:

Для того щоб довести, що існує площина, яка містить пряму a і є паралельною прямій b, розглянемо такий підхід:

1. Запустіть пряму a.

2. Виберіть будь-яку точку P на прямій a.

3. Побудуйте пряму, яка проходить через точку P та паралельна прямій b.

4. Тепер ми маємо дві прямі, пряму a і пряму, яка є паралельною прямій b, і вони проходять через точку P.

5. Побудуйте площину, яка містить обидві ці прямі. Ця площина буде паралельна прямій b, так як обидві прямі в ній лежать і обидві паралельні прямій b.

Отже, ми побудували площину, яка містить пряму a і є паралельною прямій b, як було потрібно довести.

Answer 2

Для доведення існування площини, яка містить пряму \(a\) і паралельна прямій \(b\), можна скористатися властивістю паралельних прямих у тривимірному просторі. Якщо дві прямі паралельні до третьої прямої, то вони лежать в одній площині.

Оскільки пряма \(a\) і пряма \(b\) мають загальну точку перетину (оскільки обидві є мимобіжніми), можна взяти цю точку як початок координат. Нехай вектор \(v_1\) напрямлений вздовж прямої \(a\), а вектор \(v_2\) напрямлений вздовж прямої \(b\).

Вектор \(v_1\) і вектор \(v_2\) будуть напрямленими вздовж прямих \(a\) і \(b\) відповідно. Таким чином, будемо мати два вектори, які лежать в площині, і ці вектори не є колінеарними (оскільки прямі \(a\) і \(b\) мимобіжні).

Тепер розглянемо площину, яку ми можемо побудувати, взявши векторний добуток цих двох векторів, тобто \(n = v_1 \times v_2\). Вектор \(n\) буде нормальною до площини, що проходить через точку перетину прямих \(a\) і \(b\). Отже, ця площина містить пряму \(a\).

Також, оскільки вектор \(n\) є вектором, який перпендикулярний до векторів \(v_1\) і \(v_2\), ця площина буде паралельною до прямої \(b\), оскільки вектор \(v_2\) лежить в цій площині, і вектор \(n\) перпендикулярний до \(v_2\).

Отже, ми побудували площину, яка містить пряму \(a\) і паралельна прямій \(b\).