Question

1 КУРС, ГЕОМЕТРИЯ, 70 БАЛОВ Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой x+4y-10=0 . Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат. со всеми формулами и объяснениями

Answer 1

Ответ: (x²/20) + (y²/5) = 1.

Объяснение:

Уравнение эллипса, если его оси совпадают с осями координат, имеет вид:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1.

Подставим координаты точки А(4; -1).

(4²/a²) + ((-1)²/b²) = 1 или (16/a²) + (1/b²) = 1.

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1:

k 2 = m 2 a 2 + b 2.

Выразим заданное уравнение прямой x+4y-10=0 в виде с угловым коэффициентом.

y = (-1/4)x + (10/4) или y = (-1/4)x + (5/2).

Зная угловой коэффициент касательной m = (-1/4) и параметр к = (5/2), полученные из уравнения прямой, можно выразить зависимость полуосей эллипса.

(5/2)² = (-1/4)²*a² + b², отсюда b² = (5/2)² - (-1/4)²*a² или b² = (25/4) - (1/16)*a².

В уравнение эллипса после подстановки координат точки А подставим вместо полуоси b полученное выражение.

(16/a²) + (1/((25/4) – ((1/16)*a²)) = 1.

Решив это уравнение, получаем значение a² = 20.

Тогда подставив это значение, находим b² = 5.

Получаем ответ: уравнение эллипса (x²/20) + (y²/5) = 1.

Answer 2

Для составления уравнения эллипса, проходящего через точку А(4, -1) и касающегося прямой x + 4y - 10 = 0, при условии, что его оси совпадают с осями координат, мы можем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Найдем координаты центра эллипса. Поскольку оси совпадают с осями координат, координаты центра будут (h, k), где h и k - это координаты центра.

Шаг 2: Найдем полуоси эллипса. Поскольку эллипс касается прямой x + 4y - 10 = 0, расстояние от центра эллипса до прямой будет равно полуоси эллипса.

Шаг 3: Используя найденные значения, мы можем записать уравнение эллипса в стандартной форме.

Давайте выполним эти шаги подробнее.

Шаг 1: Найдем координаты центра эллипса Поскольку оси эллипса совпадают с осями координат, координаты центра будут (h, k) = (0, 0).

Шаг 2: Найдем полуоси эллипса Расстояние от центра эллипса до прямой x + 4y - 10 = 0 равно полуоси эллипса. Для этого мы можем использовать формулу расстояния от точки до прямой:

d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой. В нашем случае A = 1, B = 4 и C = -10.

Подставим значения в формулу:

d = |1 * 4 + 4 * (-1) - 10| / sqrt(1^2 + 4^2) = |4 - 4 - 10| / sqrt(1 + 16) = |-10| / sqrt(17) = 10 / sqrt(17)

Таким образом, полуоси эллипса равны 10 / sqrt(17).

Шаг 3: Запишем уравнение эллипса в стандартной форме Уравнение эллипса в стандартной форме имеет вид:

(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1

Где (h, k) - координаты центра эллипса, а и b - полуоси эллипса.

Подставим известные значения:

(x - 0)^2 / (10 / sqrt(17))^2 + (y - 0)^2 / (10 / sqrt(17))^2 = 1

Упростим выражение:

x^2 / (100 / 17) + y^2 / (100 / 17) = 1

Умножим обе части уравнения на (100 / 17):

17x^2 + 17y^2 = 100

Таким образом, уравнение эллипса, проходящего через точку А(4, -1) и касающегося прямой x + 4y - 10 = 0 при условии, что его оси совпадают с осями координат, будет:

17x^2 + 17y^2 = 100