Question

Побудуйте переріз правильного тетраедра АВСD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АB=3.

Answer 1

Ответ:

Побудуємо переріз правильного тетраедра АВСD на площині, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС.

1. З'єднаємо середини ребер АВ і АС точками М і Н відповідно. Оскільки тетраедр правильний, то ребра АМ і АН будуть рівні між собою.

B

/\

/ \

М /____\ H

/\ /\

/ \ / \

/____\/____\

A N C

| /\

| / \

| /\/ \

| /________\

D

2. Проведемо пряму, яка проходить через точку D і паралельна площині АМН. Ця пряма перетинає пряму АН в точці К. Також проведемо пряму, яка проходить через точку D і паралельна площині АМН. Ця пряма перетинає пряму АМ в точці Л.

B

/\

/ \

/____\

A C

/ \ / \

/ \ / \

/___D\/______\

K M L

3. Відріжемо відрізок КЛ на половину, щоб відшкодувати відділення симетричних відрізків МК і МЛ. Означимо цю нову точку як Е.

B

/\

/ \

/____\

A C

/ \ / \

E---M---D \

/___K\/______L

4. Переріз буде мастику равнобедреним трапецією з основами АМ і ЕК, оскільки вони рівні, як це випливає з побудованих конструкцій.

B

/\

/ \

/____\

A C

| |

E------K

5. За теоремою Піфагора, довжина сторони ЕК може бути обчислена як

ЕК² = ЕМ² + МК²

ЕК² = (AB/2)² + AB²

ЕК² = (3/2)² + 3²

ЕК² = 9/4 + 9

ЕК² = 9/4 + 36/4

ЕК² = 45/4

ЕК = √(45/4)

ЕК = √45/2

ЕК = (3√5)/2

6. Периметр перерізу може бути обчислений як сума довжин основ АМ і ЕК, а також сума довжин бічних сторін ЭМ і MK:

П = АМ + ЕК + ЭМ + МК

П = AB + (3√5)/2 + AB/2 + AB/2

П = 3 + (3√5)/2 + 3/2 + 3/2

П = (6 + 3 + 3√5)/2

П = (9 + 3√5)/2

7. Площа перерізу може бути обчислена як половина добутку висоти перерізу (відстані між А та Е) на довжину одного з основ, наприклад, АМ:

S = (1/2) * АМ * ЭМ

S = (1/2) * 3 * ((3√5)/2)

S = (3√5)/2 * (3/2)

S = (9√5)/4

Таким чином, периметр перерізу дорівнює (9 + 3√5)/2, а площа перерізу дорівнює (9√5)/4.

Answer 2

Переріз правильного тетраедра АВСD

Переріз правильного тетраедра АВСD площиною, яка проходить через вершину D і середини ребер АВ та АС, можна побудувати наступним чином:

1. Знайдемо середину ребра АВ. Для цього розділимо ребро АВ навпіл, отримаємо точку М, яка є серединою ребра АВ.

2. Знайдемо середину ребра АС. Аналогічно до попереднього кроку, розділимо ребро АС навпіл і отримаємо точку N, яка є серединою ребра АС.

3. Проведемо пряму, яка проходить через точку D і точки М та N. Ця пряма буде перетинати площину тетраедра АВСD і утворювати переріз.

Периметр і площа перерізу

Для знаходження периметру і площі перерізу потрібно знати довжину сторони АВ тетраедра. За наданими даними, АВ = 3.

Периметр перерізу:

Периметр перерізу буде дорівнювати сумі довжин сторін перерізу. Оскільки переріз утворюється прямою, яка проходить через середини ребер АВ та АС, то сторони перерізу будуть рівні відрізкам МD і ND.

Знайдемо довжину сторони перерізу:

1. За теоремою Піфагора, в правильному трикутнику АМD, де АМ - половина сторони АВ, АD - половина сторони АС, а MD - сторона перерізу, маємо:

АМ^2 + АD^2 = MD^2

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

(3/2)^2 + (3/2)^2 = MD^2

9/4 + 9/4 = MD^2

18/4 = MD^2

9/2 = MD^2

MD = √(9/2) = 3/√2

2. Оскільки сторона перерізу MD є відрізком, який проходить через середину ребра АВ, то сторона перерізу ND також має таку ж довжину.

Таким чином, периметр перерізу буде дорівнювати:

Периметр = MD + ND = 3/√2 + 3/√2 = 6/√2 = 3√2

Площа перерізу:

Площа перерізу може бути знайдена за допомогою формули площі трикутника, оскільки переріз утворюється прямою, яка проходить через середини ребер АВ та АС.

Знайдемо площу перерізу:

1. За теоремою Герона, площа трикутника може бути знайдена за допомогою формули:

Площа = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

де p - півпериметр трикутника, a, b, c - довжини сторін трикутника.

2. За наданими даними, сторона перерізу MD = ND = 3/√2.

Таким чином, півпериметр трикутника буде:

p = (MD + ND + MD)/2 = (3/√2 + 3/√2 + 3/√2)/2 = (9/√2)/2 = 9/(2√2) = (9√2)/4

3. Підставляючи відомі значення в формулу площі трикутника, отримуємо:

Площа = √(((9√2)/4)(((9√2)/4)-(3/√2))(((9√2)/4)-(3/√2))(((9√2)/4)-(3/√2)))

Після спрощення виразу, отримуємо:

Площа = √((9√2)/4 * (9√2)/4 * (9√2)/4 * (9√2)/4) = √((9√2)^4/4^4) = √(9^4 * (√2)^4)/4^2 = √(9^4 * 2^2)/4^2 = √(9^4 * 2^2)/16 = (9^2 * 2)/16 = (81 * 2)/16 = 162/16 = 81/8

Таким чином, площа перерізу дорівнює:

Площа = 81/8