Question

На окружности радиуса R отмечены точки A, B, C, D, которые делят окружность на дуги AB, BC, CD, DA, отношение которых равно 1 : 3 : 5 : 9. Определите длины этих дуг и площади ограниченных ими секторов.

Answer 1

1) 1+3+5+9=18( частей) 

360*/18=20*

АВ=20*    ВС=60*  СД=100*  ДА=180*

p=π R n /180*

p(AB)= π R 20*/ 180*= π R/ 9

p(BC)=π R 60*/180* = π R/3

p(CD)= π R 100* / 180*= π R5/9

p(DA)= π R 180*/180*= π R

2) S=1/2 pr  p=π R n /180*

S= π R^2 n / 360*

S( AOB) = π R^2 * 20* /360* = πR^2 /18

S(BOC) = π R^2/ 6

S(COD)= π R^2 *10/36

S(DOA) =π R^2/2

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно определить угловые величины соответствующих секторов на окружности, а затем использовать эти углы, чтобы найти длины дуг и площади секторов.

1. Определение угловых величин: Давайте обозначим угол между точками A и B как α, угол между B и C как β, угол между C и D как γ, и угол между D и A как δ. Мы знаем, что отношение дуг AB, BC, CD и DA равно 1:3:5:9. Таким образом, мы можем записать углы α, β, γ и δ как:

α = θ β = 3θ γ = 5θ δ = 9θ

Здесь θ - угол между радиусами, и его величина будет равна сумме углов α, β, γ и δ, так как окружность состоит из 360 градусов:

θ + 3θ + 5θ + 9θ = 360°

Объединяя коэффициенты углов, мы получаем:

18θ = 360°

Теперь мы можем найти значение θ:

θ = 360° / 18 = 20°

2. Определение длин дуг: Теперь мы можем найти длины дуг AB, BC, CD и DA, используя найденное значение угла θ:

Длина дуги AB = α * R = 20° * R Длина дуги BC = β * R = 3 * 20° * R = 60° * R Длина дуги CD = γ * R = 5 * 20° * R = 100° * R Длина дуги DA = δ * R = 9 * 20° * R = 180° * R

3. Определение площадей секторов: Теперь мы можем найти площади секторов, ограниченных этими дугами. Площадь сектора можно найти, используя следующую формулу:

Площадь сектора = (угол в радианах / 2π) * πR^2

Площадь сектора AB = (20° / 360°) * πR^2 = (1/18) * πR^2 Площадь сектора BC = (60° / 360°) * πR^2 = (1/6) * πR^2 Площадь сектора CD = (100° / 360°) * πR^2 = (5/18) * πR^2 Площадь сектора DA = (180° / 360°) * πR^2 = (1/2) * πR^2

Таким образом, длины дуг AB, BC, CD и DA равны соответственно 20°R, 60°R, 100°R и 180°R, а площади секторов AB, BC, CD и DA равны (1/18)πR^2, (1/6)πR^2, (5/18)πR^2 и (1/2)πR^2.