Question

0.38. Докажите, что в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями суммы квадратов противоположных сторон равны между собой

Answer 1

Чтобы доказать, что в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями суммы квадратов противоположных сторон равны между собой, давайте воспользуемся свойствами перпендикулярных диагоналей и прямоугольником.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, где AC и BD - диагонали, пересекающиеся в точке O, и эти диагонали перпендикулярны друг другу. Пусть AB, BC, CD и DA - стороны четырехугольника.

Из свойств перпендикулярных диагоналей известно, что четыре образованных ими прямоугольных треугольника (AOB, BOC, COD, DOA) равнобедренные, так как углы при основании каждого из них равны.

Теперь рассмотрим стороны четырехугольника ABCD. Поскольку каждый из прямоугольных треугольников равнобедренный, то стороны прямоугольных треугольников, близкие к диагоналям, равны между собой. Давайте обозначим эти стороны как a и b, где a - сторона ближе к диагонали AC, а b - сторона ближе к диагонали BD.

Теперь мы можем записать суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника ABCD:

AB^2 + CD^2 = (a + b)^2 BC^2 + DA^2 = (a + b)^2

Как видно, суммы квадратов противоположных сторон равны между собой, и это доказывает утверждение: в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями суммы квадратов противоположных сторон равны друг другу.