Question

1.5. Доведіть, що площина і пряма, яка не лежить на ній, або не пере- тинаються, або перетинаються ній точці. ​

Answer 1

Ответ:

Доведення:

Нехай задана площина α і пряма b, яка не лежить в цій площині. Розглянемо два випадки:

1) Пряма b паралельна площині α. У цьому випадку вони не перетинаються.

2) Пряма b не паралельна площині α. Тоді через будь-яку точку прямої b, яка не належить площині α, можна провести пряму a, що лежить в площині α і перетинає пряму b (оскільки вони непаралельні). Точка перетину прямих a і b належить і площині α, і прямій b, отже, є точкою їх перетину.

Отже, якщо пряма не лежить в площині і не паралельна їй, то вона перетинає площину в одній точці.

Таким чином, площина і пряма, що не лежить на ній, або не перетинаються (якщо паралельні), або перетинаються в одній точці. Це і потрібно було довести.

Объяснение:

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо два випадки.

1. Площина і пряма не перетинаються: Припустимо, що ми маємо площину і пряму, які не перетинаються. Тоді, якщо ми виберемо будь-яку точку на прямій і побудуємо на ній перпендикуляр до площини, цей перпендикуляр не перетне площину (бо він лежить на прямій, яка не перетинається з площиною). Таким чином, жодна точка прямої не належить площині, що означає, що пряма і площина не мають жодної спільної точки.

2. Площина і пряма перетинаються: Припустимо, що ми маємо площину і пряму, які перетинаються в одній точці. Оскільки ці дві геометричні фігури перетинаються, то вони мають хоча б одну спільну точку. Інакше кажучи, існує пряма, яка лежить на площині і перетинається з прямою. Тому, якщо площина і пряма перетинаються, то цей перетин відбувається в одній точці.

Отже, площина і пряма можуть мати або жодної спільної точки, або одну спільну точку, але не можуть перетинатися в більшій кількості точок.