Question

Найдите стороны треугольника, синусы углов которого равны 3/5 , 5/12 и 56/65 соответственно, если его периметр равен 1465.

Answer 1

Стороны a, b, c

Теорема синусов: a/sinA = b/sinB =c/sinC

a/(3/5) =b/(5/12) => b =25/36 a

a/(3/5) =c/(56/65) => c =56/39 a

a+b+c =1465 =>

a +25/36 a +56/39 a =1465 =>  

(468 +325 +672)/468 a =1465 =>

1465/468 a =1465 => a =468

b =468*25/36 =325

c =468*56/39 =672

Но это решение неверное, так как треугольник с углами, данными в условии, не существует.

Пусть

sinA=3/5 => cosA= +-4/5

sinB=56/65 => cosB= +-33/65

sinC =sin(180-A-B) =sin(A+B) =sinAcosB +sinBcosA

=3/5 * +-33/65 + 56/65 * +-4/5 =

1) 323/325; 2) 125/325 =5/13 (0<C<180, sinC>0)

Найденные значения не совпадают с данными в условии.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой синусов:

a/sin A = b/sin B = c/sin C,

где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие углы.

Пусть a, b, c - стороны треугольника, sin A = 3/5, sin B = 5/12, sin C = 56/65.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

A + B + C = 180°.

Также, по определению синуса:

sin A = a/с, sin B = b/с, sin C = c/с,

что можно переписать в виде:

a = c * sin A, b = c * sin B.

Подставим значения синусов:

a = c * (3/5), b = c * (5/12).

Теперь найдем периметр треугольника:

a + b + c = 1465,

c*(3/5) + c*(5/12) + c = 1465.

Приведем полученное уравнение к общему знаменателю и сделаем расчет:

36c/60 + 25c/60 + 60c/60 = 1465.

(36c + 25c + 60c)/60 = 1465,

121c/60 = 1465.

Умножим обе части уравнения на 60:

121c = 1465 * 60,

c = (1465 * 60)/121.

Таким образом, найдена сторона c треугольника.

Аналогично, используя значения синусов, найдем стороны a и b:

a = c * (3/5) = ((1465 * 60)/121) * (3/5),

b = c * (5/12) = ((1465 * 60)/121) * (5/12).

Таким образом, мы нашли стороны треугольника a, b, c, синусы углов A, B, C которого равны 3/5, 5/12 и 56/65 соответственно, а его периметр равен 1465.