Question

5. На оси Оу найдите точку М(0;у;0), равноудаленную от двух точек А(2;3;1) и В(-3;1;-2). Найдите длины сторон треугольника АВМ.

Answer 1

Ответ:

М(0;0;0). МА = $\sqrt{14}$, ВМ = $\sqrt{14}$, АВ = $\sqrt{38}$

Объяснение:

АМ=МВ

АМ=$\sqrt{(0-2)^{2}+(y-3)^{2}+(0-1)^{2} }$

MB=$\sqrt{(0+3)^{2}+(y-1)^{2}+(0+2)^{2} }$

$\sqrt{(0-2)^{2}+(y-3)^{2}+(0-1)^{2} } = \sqrt{(0+3)^{2}+(y-1)^{2}+(0+2)^{2} }$

4-6y+9=9-2y+4

-6y=-2y

y=0

MA=$\sqrt{(0-2)^{2}+(0-3)^{2}+(0-1)^{2} }=\sqrt{14}$

BM=$\sqrt{(0-3)^{2}+(0-1)^{2}+(0-2)^{2} }=\sqrt{14}$

AB=$\sqrt{(-2-3)^{2}+(-3+1)^{2}+(-2-1)^{2} }=\sqrt{38}$

Answer 2

Для начала найдем координаты точки М, которая равноудалена от точек А и В.

Расстояние между точками можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где d - расстояние между точками (А и М или В и М), (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек.

Для точек А(2, 3, 1) и М(0, у, 0) получаем:

d1 = √((2 - 0)^2 + (3 - у)^2 + (1 - 0)^2) = √(4 + (3 - у)^2 + 1) = √(5 + (3 - у)^2),

Аналогично, для точек В(-3, 1, -2) и М(0, у, 0) получаем:

d2 = √((-3 - 0)^2 + (1 - у)^2 + (-2 - 0)^2) = √(9 + (1 - у)^2 + 4) = √(13 + (1 - у)^2).

Так как точка М равноудалена от точек А и В, то d1 = d2:

√(5 + (3 - у)^2) = √(13 + (1 - у)^2).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

5 + (3 - у)^2 = 13 + (1 - у)^2.

Раскроем скобки:

5 + 9 - 6у + у^2 = 13 + 1 - 2у + у^2.

Упростим уравнение:

4у = 9,

у = 9/4.

Таким образом, координаты точки М равны (0, 9/4, 0).

Теперь найдем длины сторон треугольника АВМ, используя формулу расстояния между двумя точками:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек.

Для точек А(2, 3, 1) и В(-3, 1, -2) получаем:

AB = √((-3 - 2)^2 + (1 - 3)^2 + (-2 - 1)^2) = √(25 + 4 + 9) = √38.

Для точек А(2, 3, 1) и М(0, 9/4, 0) получаем:

AM = √((0 - 2)^2 + (9/4 - 3)^2 + (0 - 1)^2) = √(4 + 9/16 + 1) = √(65/16) = √65/4.

Для точек В(-3, 1, -2) и М(0, 9/4, 0) получаем:

BM = √((0 - (-3))^2 + (9/4 - 1)^2 + (0 - (-2))^2) = √(9 + 9/16 + 4) = √(85/16) = √85/4.

Таким образом, длины сторон треугольника АВМ равны √38, √65/4 и √85/4.

Answer 3

Для начала, найдем расстояние между точками A(2, 3, 1) и B(-3, 1, -2). Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения координат, получим:

d = √((-3 - 2)^2 + (1 - 3)^2 + (-2 - 1)^2) = √((-5)^2 + (-2)^2 + (-3)^2) = √(25 + 4 + 9) = √38

Теперь, чтобы найти точку M(0, y, 0), которая равноудалена от точек A и B, мы можем использовать симметрию. Так как точка M находится на оси Oy, ее координата x будет равна 0. Также, так как M находится на равном расстоянии от A и B, расстояние от M до A будет равно расстоянию от M до B. Мы можем записать это в виде уравнения:

√(0 - 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 1)^2) = √(-3 - 0)^2 + (1 - y)^2 + (-2 - 0)^2)

Раскрываем скобки и упрощаем:

√4 + (y - 3)^2 + 1 = √9 + (1 - y)^2 + 4

(y - 3)^2 + 5 = (1 - y)^2 + 13

Раскрываем квадраты:

y^2 - 6y + 9 + 5 = 1 - 2y + y^2 + 13

y^2 - 6y + 14 = y^2 - 2y + 14

Вычитаем y^2 и 14 с обеих сторон уравнения:

-6y = -2y

Делим на -2:

y = 0

Таким образом, координата y точки M равна 0.

Теперь, чтобы найти длины сторон треугольника АВМ, нам нужно найти расстояния между каждой парой точек. Мы уже знаем длину стороны АВ, которая равна √38. Для нахождения длины стороны АМ и стороны ВМ, мы можем использовать формулу расстояния между точками:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты соответствующих точек.

Таким образом, чтобы найти длину стороны АМ:

d = √((0 - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 1)^2) = √((-2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2) = √(4 + 9 + 1) = √14

И чтобы найти длину стороны ВМ:

d = √((0 - (-3))^2 + (0 - 1)^2 + (0 - (-2))^2) = √(3^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(9 + 1 + 4) = √14

Таким образом, длины сторон треугольника АВМ равны √38, √14 и √14.