Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ Отрезок AD – биссектриса прямоугольного треугольника АВС ( угол С=90 градусов). Точка D делит сторону ВС на отрезки длиной 15 см и 25 см. Найдите синус угла ADC.

Answer 1

Ответ: 2√5 / 5

Объяснение:

BD=25, DC=15, BC=25+15=40

Биссектриса угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилегающим к ним сторонам. То есть, BD/DC = AB/AC (AB — гипотенуза, AC — катет). Тогда 25/15 = 5/3 (мы 25 и 15 сократили на 5). Получается, что и AB/AC как 5/3. Пусть гипотенуза AB=5х, а катет, AC=3x. За теоремой Пифагора: AB² = AC² + BC² ›› (5х)² = (3х)² + 40²;

25x² = 9x² + 1600;

25x² - 9x² = 1600;

16x² = 1600;

x² = 100;

x= √100 = ±10, однако -10 нам не подходит, поэтому х=10.

AC=3x=3*10=30;

В треугольнике ACD (угол С=90°): за теоремой Пифагора AD²=AC²+DC²;

AD=√(AC²+DC²);

AD=√(30²+15²)=√1125=15√5;

sinADC = AC/AD = 30 / 15√5 = 2√5 / 5.

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится применить теорему синусов.

Согласно теореме синусов, отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C),

где a, b, c - длины сторон треугольника, A, B, C - соответствующие углы.

В нашем случае треугольник АВС - прямоугольный, поэтому угол C = 90 градусов, а стороны АС и ВС являются катетами.

По условию задачи, отрезок ВС делится точкой D на отрезки длиной 15 см и 25 см. То есть, ВD = 15 см, DS = 25 см.

Так как AD является биссектрисой угла С, то отношение длин сторон треугольника АС и СD равно:

AC/CD = AB/BD.

Найдем длину стороны AC: AC^2 = AB^2 + BC^2, AC^2 = 15^2 + 25^2, AC^2 = 225 + 625, AC^2 = 850, AC = √850.

Теперь найдем длину отрезка CD: BD = BS + SD, BD = 15 + 25, BD = 40.

AC/CD = AB/BD, √850/CD = 15/40, √850/CD = 3/8.

CD = (8√850)/3.

Теперь можем найти синус угла ADC: sin(ADC) = CD/AC, sin(ADC) = ((8√850)/3)/√850, sin(ADC) = 8/3.

Ответ: синус угла ADC равен 8/3.