Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей. Катеты треугольника должны быть равны см и см (Пиши длины сторон в возрастающей последовательности). Максимальная площадь равна см².

Answer 1

Ответ:

Катеты треугольника должны быть равны

10 см и

10 см

(Пиши длины сторон в возрастающей последовательности).

Максимальная площадь равна

50 см².

Объяснение:

Я решила методом подбора: площадь прямоугольного треугольная равна полупроизведению катетов.  Значит возьмём пару из минимального целого числа и максимального; и пару одинаковых чисел (обе суммы 20). Можем взять еще промежуточное значение, чтобы убедится

Мкаксимально отдалённые числа: 1 и 19. Тогда площадь равна S=1*19/2=9,5 см²

При равных катетах 10 и 10

S=10*10/2=50 см²

Как видим. чем меньше разница, тем больше площадь. Можем взять еще промежуточное значение, чтоб убедиться в правильности этого алгоритма. Например, катеты 14 и 6

S=14*6/10=42 см²

То есть, тенденция подтверждена, и вариант с равными катетами нам подходит

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 * a * b, где a и b - длины катетов треугольника.

Мы знаем, что сумма катетов равна 20 см. Пусть длина одного катета будет x см, тогда длина второго катета будет (20 - x) см.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу площади и найти максимальную площадь.

S = 0.5 * x * (20 - x)

Для нахождения максимальной площади, мы можем найти вершину параболы, заданной этой формулой. Для этого нужно найти значение x, при котором производная площади равна нулю.

Давайте продифференцируем формулу площади по x:

dS/dx = 0.5 * (20 - 2x)

Теперь приравняем производную к нулю:

0.5 * (20 - 2x) = 0 20 - 2x = 0 2x = 20 x = 10

Таким образом, один катет должен быть равен 10 см, а второй катет будет равен (20 - 10) = 10 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, подставив эти значения в формулу площади:

S = 0.5 * 10 * 10 S = 50 см²

Таким образом, при длинах катетов 10 см и 10 см, площадь прямоугольного треугольника будет наибольшей и равна 50 см².