Question

Дана окружность радиуса 5 с центром в точке O. Пусть AB - хорда этой окружности, длина AB равна 6. Впишем квадрат PQRS в сектор AOB так, чтобы точка P была на отрезке OA, точка Q - на отрезке OB, а точки R и S лежали на окружности. Найдите площадь квадрата PQRS.

Answer 1

Ответ:

S(PQRS)=900/109.

Объяснение:

Решение в приложении.

Answer 2

Построим данную фигуру и обозначим необходимые точки:

???? Пусть M - середина отрезка ab. ???? Построим радиус ON, где N - середина отрезка ab. ???? Проведем отрезок MP, где P - точка пересечения NM и окружности (точка на отрезке oa). ???? Проведем отрезок MQ, где Q - точка пересечения NM и окружности (точка на отрезке ob). ???? Проведем отрезки QS и SR, где S и R - точки пересечения окружности с MQ и MP соответственно.

Таким образом, имеем, что ON = 5 (радиус окружности) и AM = 3 (половина длины хорды).

Так как N - середина отрезка ab, то AN = 3 (AM), а MO = MB = 3 (в силу свойств медианы).

Также, так как ON - радиус окружности и точка M - середина отрезка ab, то медиана NM является высотой треугольника ONM.

Треугольник ONM - прямоугольный, исходя из свойств радиуса и медианы, поэтому применим теорему Пифагора: NO^2 = ON^2 - NM^2 ⇒ NO^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 ⇒ NO = 4

Теперь вычислим площадь квадрата pqrs. Отрезки PQ и RS параллельны, так как лежат на радиусах окружности и перпендикулярны NM. Отрезки QR и PS также параллельны, так как являются сторонами треугольников QON и SON, соответственно.

Так как все стороны квадрата параллельны осям координат, то его площадь можно найти как произведение длин двух его сторон: Площадь квадрата pqrs = PQ * QR

Заметим, что треугольник QNO подобен треугольнику OMA (по две стороны пропорциональны), поэтому имеется следующее соотношение: NO / ON = MA / NO ⇒ MA = (NO)^2 / ON = 4^2 / 5 = 16 / 5

Теперь найдем длины отрезков PQ и QR.

Поскольку NP - медиана треугольника OAM, то она делит его площадь напополам. Чтобы найти NP, можно воспользоваться формулой для площади треугольника через медиану: Площадь OAM = (1/2) * MA * NP

Также площадь OAM можно найти по формуле: Площадь OAM = (1/2) * OA * AM

Из этих двух выражений для площади OAM найдем выражение для NP: (1/2) * MA * NP = (1/2) * OA * AM ⇒ NP = (OA * AM) / MA ⇒ NP = (5 * 3) / (16 / 5) = 15 / (16 / 5) = 75 / 16

Также можно заметить, что треугольник QOM подобен треугольнику ONP (по две стороны пропорциональны), поэтому имеется следующее соотношение: OM / ON = NP / OM ⇒ OM^2 = ON * NP = 4 * (75 / 16) = 75 / 4 ⇒ OM = √(75 / 4)

Теперь, поскольку MQ - медиана треугольника QON, то она делит его площадь напополам. Чтобы найти MQ, можно воспользоваться формулой для площади треугольника через медиану: Площадь QON = (1/2) * MN * MQ

Также площадь QON можно найти по формуле: Площадь QON = (1/2) * QO * ON

Из этих двух выражений для площади QON найдем выражение для MQ: (1/2) * MN * MQ = (1/2) * QO * ON ⇒ MQ = (QO * ON) / MN ⇒ MQ = (4 * 5) / √(75 / 4) = 20 / √(75 / 4)

Теперь, чтобы найти длины отрезков PQ и QR, нужно вычесть из MP иMQ соответственно длины NP и OM: PQ = MP - NP = 3 - (75 / 16) = (48 - 75) / 16 = -27 / 16 QR = MQ - OM = (20 / √(75 / 4)) - √(75 / 4) = (20 - √75) / √(75 / 4)

Теперь можем найти площадь квадрата pqrs как произведение длин его сторон: Площадь квадрата pqrs = PQ * QR = (-27 / 16) * ((20 - √75) / √(75 / 4)) = -27 * (20 - √75) / (16 * √(75 / 4))

Окончательный ответ будет: Площадь квадрата pqrs = -27 * (20 - √75) / (16 * √(75 / 4))

Данное выражение можно упростить, но оно уже является ответом на задачу.