Question

Даю 40 баллов!Помогите решить(с рисунком)! Плоскость α, перпендикулярная катету AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке E, а гипотенузу AB — в точке F. а) Докажите, что EF ∥ BC б) Докажите, что ∆AEF~∆ACB в) Найдите отрезок EF, если AE : EC = 3 : 4, BC = 21 см

Answer 1

Ответ:

EF = 9 см

Объяснение:

Дано: α ⊥ AC, α ∩ AC = E, α ∩ AB = F, BC ⊥ AC, AE : EC = 3 : 4, BC = 21 см

Доказать: EF║BC, $зAEF \sim зACB$

Найти: EF - ?

Решение: Так как по условию α ∩ AC = E, α ∩ AB = F и α ⊥ AC, то EF ⊥ AC.

По теореме EF║BC, так как BC ⊥ AC и EF ⊥ AC.

Треугольник $зAEF \sim зACB$ по двум углам, так как угол ∠A - общий, а так как BC ⊥ AC и EF ⊥ AC, то ∠BCA = ∠FEA = 90°. Введем коэффициент пропорциональности x, тогда AE = 3x, CE = 4x. AC = AE + EC = 3x + 4x = 7x. По свойствам подобных треугольников ($зAEF \sim зACB$) :

$\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{EF}{BC} \Longrightarrow EF = \dfrac{AE \cdot BC}{AC} = \dfrac{3x \cdot 21}{7x} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства прямоугольного треугольника и свойства параллелограмма.

1. Проверка, что EF || BC

Плоскость α, перпендикулярная кату AC, пересекает катет AC в точке E и гипотенузу AB в точке F. Это означает, что EF является высотой в прямоугольном треугольнике ABC. В прямоугольном треугольнике высоты перпендикулярны основанию. Таким образом, EF перпендикулярно BC.

2. Доказательство, что ∆AEF ~ ∆ACB

Прямоугольный треугольник ABC разделяется на два прямоугольных треугольника: AEF и ACB. Поскольку EF || BC, углы ∠AEF и ∠ACB равны. Таким образом, ∆AEF ~ ∆ACB.

3. Нахождение отрезка EF

У нас есть отношение между длинами сторон треугольника: AE : EC = 3 : 4 и BC = 21 см.

Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что AC = BC + AB и EC = BC - AB.

Из этих двух уравнений, мы можем выразить AB через AC и BC: AB = AC - BC.

Используя это выражение, мы можем записать длину EF как: EF = AB + BC = (AC - BC) + BC = AC.

Теперь, используя отношение сторон, мы можем записать длину AC: AC = AE + EC = 3EC/4 + 4EC/3 = 7EC/12.

Таким образом, EF = AC = 7EC/12.

Чтобы найти длину EF, нам нужно знать длину EC. Из отношения сторон, мы знаем, что EC = BC - AB = 21 - AB.

Так как AB = AC - BC = 7EC/12 - 21, мы можем подставить это выражение в уравнение для EC: EC = 21 - (7EC/12 - 21) = 13EC/12.

Подставив это значение в уравнение для EF, мы получаем: EF = AC = 7 * 13EC/12 / 12 = 91EC/144.

Таким образом, длина EF равна 91EC/144.