Question

Какие из следующих утверждений верны? А) В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. В) Если квадрат стороны треугольника равен сумме двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Г) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

Answer 1

А) В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Верно. Вспомним теорему о соотношении углов и сторон в треугольнике : "Напротив большего угла лежит большая сторона". Гипотенуза — самая длинная сторона любого прямоугольного треугольника, так как она лежит напротив угла в 90° (все остальные углы прямоугольного треугольника — острые (градусная мера острых углов (α) измеряется в пределах 0° ≤ α < 90°). Напротив острых углов в прямоугольном треугольнике лежат катеты.

Б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. Неверно. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора (если сумма квадратов двух сторон в треугольнике равна квадрату третьей стороны, то данный треугольник — прямоугольный), такой треугольник может быть только прямоугольным, но никак не любым.

В) Если квадрат стороны треугольника равен сумме двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Неверно. Снова обратимся к теореме, обратной теореме Пифагора : "Если сумма квадратов двух сторон в треугольнике равна квадрату третьей стороны, то данный треугольник — прямоугольный".

Г) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. Верно. Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим : $\tt 5^{2} + 12^{2} = 13^{2} \Leftrightarrow 25 + 144 = 169 \Leftrightarrow \underline{169 = 169}$ - получилось верное равенство. Гипотенуза действительно равна 13.

Ответ : А) и Г) — верные утверждения.

Answer 2

Ваши утверждения можно проверить на основе основных свойств прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора.

А) В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

Это утверждение верно. В прямоугольном треугольнике катеты всегда меньше гипотенузы. Это следует из определения прямоугольного треугольника.

Б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон.

Это утверждение верно и является основным принципом теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике, если мы возьмем гипотенузу как "любую сторону", то ее квадрат будет равен сумме квадратов катетов.

В) Если квадрат стороны треугольника равен сумме двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Это утверждение неверно. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если квадрат стороны равен сумме двух других сторон, это не обязательно означает, что треугольник прямоугольный. Это может быть и равнобедренный треугольник, например.

Г) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

Это утверждение верно. В прямоугольном треугольнике, если катеты равны 5 и 12, то гипотенуза будет равна 13. Это следует из теоремы Пифагора: 5^2 + 12^2 = 13^2.