Question

Задача 1. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если ∠BAC = 60°, ∠ABC = 80°, а сумма углов треугольника ABO равна 180°.​

Answer 1

Ответ:

40°

Объяснение:

Answer 2

Дано: В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Углы треугольника ABC равны ∠BAC = 60° и ∠ABC = 80°. Сумма углов треугольника ABO равна 180°.

Чтобы найти углы треугольника ABO, мы можем воспользоваться следующими свойствами биссектрис треугольника:

1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные соседним сторонам. То есть, отношение длин отрезков AB и AC к отрезкам OB и OC будет одинаковым.

2. Биссектриса треугольника делит противоположный угол на два равных угла. То есть, ∠BAD = ∠CAD и ∠BOM = ∠COM.

Используя эти свойства, мы можем найти углы треугольника ABO:

1. Найдем отношение длин отрезков AB и AC к отрезкам OB и OC. Поскольку биссектрисы AD и BM пересекаются в точке O, то отношение длин AO и BO будет одинаковым. Поэтому, AB/OB = AC/OC.

2. Заметим, что треугольник ABC является равнобедренным, так как ∠BAC = ∠ABC. Поэтому, AB = AC.

3. Из уравнения AB/OB = AC/OC следует, что AB/AC = OB/OC. Поскольку AB = AC, то OB = OC.

4. Треугольник OBM является равнобедренным, так как OB = OC. Поэтому, ∠BOM = ∠COM.

5. Угол ∠BOM является половиной угла ∠BAC, так как BM является биссектрисой. То есть, ∠BOM = 1/2 * ∠BAC = 1/2 * 60° = 30°.

6. Поскольку ∠BOM = ∠COM, то ∠COM = 30°.

7. Треугольник OAB является равнобедренным, так как OB = OA (по свойству 1). Поэтому, ∠ABO = ∠OAB.

8. Сумма углов треугольника ABO равна 180° (дано). Значит, ∠ABO + ∠OAB + ∠OBA = 180°.

Используя эти равенства и свойства, мы можем определить углы треугольника ABO:

∠ABO + ∠OAB + ∠OBA = 180° ∠ABO + ∠ABO + 30° = 180° 2∠ABO = 150° ∠ABO = 75°

Таким образом, углы треугольника ABO равны: ∠ABO = 75°, ∠OAB = 75° и ∠OBA = 30°.