Question

Решите неравенство методом интервалов 1) (х²-1)(х-2)<02) (х-5)(3х+1)/3-х≥0

Answer 1

1) (x² - 1)(x - 2) < 0
(x - 1)(x + 1)(x - 2) < 0
_______________________
 -   - 1     +      1      -      2   +
x э (- бесконечности; - 1) U (1;2)
2)(x - 5)(3x + 1) / (3 - x) >= 0
   - 3(x - 5)(x + 1/3) / (x - 3) >= 0
   (x - 5)(x + 1/3)(x - 3) <= 0       x-3 не равно 0, значит x не равен 3
__________________________________
     -     - 1/3     +      3       -          5        +

x э (- бесконечности; - 1/3] U (3; 5]

Answer 2

Для решения неравенств с помощью метода интервалов, нам нужно найти интервалы, на которых неравенство выполняется. Давайте начнем с решения каждого неравенства по отдельности.

Решение неравенства (1)

Начнем с неравенства (1): (х²-1)(х-2) < 0.

1. Найдем корни уравнения, соответствующего равенству (х²-1)(х-2) = 0: (x-1)(x+1)(x-2) = 0 Отсюда получаем x₁ = -1, x₂ = 1, x₃ = 2.

2. Построим таблицу знаков: | Интервал | Знак выражения (х²-1)(х-2) | |----------|------------------------------| | (-∞, -1) | + | | (-1, 1) | - | | (1, 2) | + | | (2, +∞) | - |

3. Составим ответ: Неравенство (х²-1)(х-2) < 0 выполняется на интервалах (-1, 1) и (2, +∞).

Решение неравенства (2)

Теперь перейдем к неравенству (2): (х-5)(3х+1)/3-х ≥ 0.

1. Найдем корни уравнения, соответствующего равенству (х-5)(3х+1)/3-х = 0: (x-5)(3x+1) - 3x(x-1) = 0 3x² - 15x + x - 5 - 3x² = 0 -14x - 5 = 0 x = -5/14

2. Построим таблицу знаков: | Интервал | Знак выражения (х-5)(3х+1)/3-х | |----------|---------------------------------| | (-∞, -5/14) | - | | (-5/14, 5) | + | | (5, +∞) | - |

3. Составим ответ: Неравенство (х-5)(3х+1)/3-х ≥ 0 выполняется на интервалах (-∞, -5/14) и (5, +∞).

Общее решение

Теперь найдем общее решение исходной системы неравенств. Для этого возьмем пересечение интервалов, на которых выполняются оба неравенства.

Интервалы, на которых выполняются оба неравенства: (5, +∞).

Таким образом, общее решение исходной системы неравенств (1) и (2) методом интервалов: x ∈ (5, +∞).