Question

Срочно! Докажите, что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон служат вершинами прямоугольника. P.s именно решение, с док-вом, пж-ста. Даю 25 баллов

Answer 1

Ответ:

Если соединить середины сторон четырехугольника, у которого диагонали перпендикулярны, то получатся прямые, параллельные диагоналям четырехугольника, а значит они тоже пересекаются под прямым углом таким образом получаем прямоугольник.

Объяснение:

Answer 2

Давайте докажем это утверждение.

Предположим, у нас есть четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD перпендикулярны. Мы хотим доказать, что середины его сторон служат вершинами прямоугольника.

Для начала обратим внимание на то, что если диагонали перпендикулярны, то они образуют четырёхугольник ABCD прямоугольным, и угол между диагоналями равен 90 градусов. Это означает, что угол между сторонами четырёхугольника ABCD равен 90 градусов.

Далее, обратим внимание на то, что середины сторон четырёхугольника, обозначим их как E, F, G и H (E между AB, F между BC, G между CD и H между DA), являются серединами соответствующих сторон: AE = EC, BF = FC, CG = GD и DH = HA.

Теперь давайте рассмотрим четыре треугольника: ABE, BCF, CDG и DHA.

1. Треугольник ABE: Угол ABE равен 90 градусов, так как он противоположен прямому углу ABCD. Также, AE = EC (по определению середины отрезка). Это делает треугольник ABE прямоугольным, и он имеет один угол 90 градусов.

2. Треугольник BCF: Аналогично, угол BCF равен 90 градусов, и BF = FC. Это делает треугольник BCF прямоугольным, и он также имеет один угол 90 градусов.

3. Треугольник CDG: Угол CDG равен 90 градусов, и CG = GD. Это делает треугольник CDG прямоугольным, и он имеет один угол 90 градусов.

4. Треугольник DHA: Угол DHA равен 90 градусов, и DH = HA. Это делает треугольник DHA прямоугольным, и он имеет один угол 90 градусов.

Таким образом, каждый из четырёх треугольников ABE, BCF, CDG и DHA является прямоугольным, и все они имеют по одному углу, равному 90 градусов. Следовательно, они образуют прямоугольник EFGH, где E - середина AB, F - середина BC, G - середина CD, H - середина DA. Таким образом, середины сторон четырёхугольника ABCD действительно служат вершинами прямоугольника EFGH, что и требовалось доказать.

Поэтому утверждение верно, и середины сторон четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями действительно служат вершинами прямоугольника.