Question

Докажите, что если в ромбе диогонали равны, то этот ромб является квадратом.

Answer 1

Так как ромб является параллелограммом, то из признака прямоугольника следует, что ромб, у которого равны диогонали, является прямоугольником, а значит, он является квадратом

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим ромб ABCD, в котором диагонали AC и BD равны между собой.

В ромбе диагонали являются перпендикулярными биссектрисами углов. Поэтому AC и BD делят его на четыре равных треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC. У него углы ABC и BCA являются равными, так как треугольник ABC равнобедренный. Поскольку у треугольника сумма углов равна 180 градусам, угол ACB равен 180 - 2*ABC.

Рассмотрим треугольник ACD. У него углы ACD и ADC являются равными, так как треугольник ACD равнобедренный. Поскольку у треугольника сумма углов равна 180 градусам, угол ACB равен 180 - 2*ACD.

Так как диагонали являются перпендикулярными биссектрисами углов, у них пересекающиеся углы также равны между собой. То есть угол ACB равен углу ACD.

Из равенства 180 - 2*ABC = 180 - 2*ACD получаем 2*ABC = 2*ACD. Разделим обе части этого равенства на 2: ABC = ACD.

Таким образом, углы ACB и ACD равны между собой. Значит, треугольники ABC и ADC являются равнобедренными с равными основаниями AC и AD. Следовательно, они равны между собой.

Таким образом, стороны AD и BC равны между собой. А так как все стороны ромба ABCD равны между собой, то ромб ABCD является квадратом.

Таким образом, если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.