Question

В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2:3. Диагонали ромба равны m и n. Найти стороны треугольника, содержащие стороны ромба.​

Answer 1

Пусть сторона ромба равна а.

По свойству ромба а = √((m/2)² + (n/2)²).

Треугольники ВДЕ и АВС подобны к = 2/(2 + 3) = 2/5.

Тогда находим сторону АС = (5/2)*а = (5/2)*√((m/2)² + (n/2)²).

Диагональ ромба АЕ - биссектриса угла А.

По свойству биссектрисы:

АВ = (2/3)АС = (2/3)*(5/2)√((m/2)² + (n/2)²) = (5/3)√((m/2)² + (n/2)²).

Ответ: АВ = (5/3)√((m/2)² + (n/2)²),        

           АС  = (5/2)√((m/2)² + (n/2)²).

Answer 2

Пусть сторона ромба равна а. Тогда стороны треугольника, содержащие стороны ромба, равны 2а и 3а. Пусть x - угол между диагоналями ромба. Тогда угол между сторонами треугольника равен 180° - x. Расмотрим треугольник, состоящий из половинки ромба и сторон треугольника. В этом треугольнике угол между сторонами треугольника равен 180° - x, а противоположный угол равен x. По теореме синусов для этого треугольника получаем: sin(x) / 2a = sin(180° - x) / 3a Упростим и решим полученное уравнение: 3sin(x) = 2sin(180° - x) 3sin(x) = 2sin(x) sin(x) = 0 Так как sin(x) = 0, то x = 0° или x = 180°. Но угол x - это угол между диагоналями ромба, поэтому x ≠ 180°. Итак, получили, что x = 0°. Так как x = 0°, то диагонали ромба параллельны сторонам треугольника. Тогда стороны ромба представляют собой высоты треугольника. По теореме Пифагора в треугольнике со сторонами 2а, 3а и h (где h - высота) имеем: (2а)² + (3а)² = h² 4a² + 9a² = h² 13a² = h² Таким образом, сторона треугольника, содержащая сторону ромба, равна √13a. Значит, стороны треугольника равны 2а, 3а и √13a.