Question

Прямая АК перпендикулярна плоскости параллелограмма АВСД.Оказалось,что КД перпендикулярна СД.Докажите,что АВСД прямоугольник

Answer 1

АК⊥(АВС),  KD⊥CD,  AD - проекция наклонной KD на плоскость (АВС), значит,  AD⊥CD по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
В параллелограмме угол D прямой, значит это прямоугольник

Answer 2

Для доказательства того, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, мы должны показать, что его стороны АВ и СD перпендикулярны, то есть образуют прямой угол.

Дано, что прямая AK перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD. Это означает, что прямая AK перпендикулярна любой линии, проведенной в плоскости ABCD. В частности, она перпендикулярна стороне BC.

Также дано, что линия KD перпендикулярна SD. Это означает, что угол KDS является прямым углом.

Доказательство:

Мы знаем, что прямая AK перпендикулярна стороне BC и линия KD перпендикулярна SD. Теперь нам нужно показать, что сторона АВ также перпендикулярна стороне CD.

Предположим, что сторона АВ не перпендикулярна стороне CD. Это означает, что угол ADC не является прямым углом.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. У нас есть два прямых угла: угол KDS и угол ADC (так как сторона АВ не перпендикулярна стороне CD). Но сумма углов треугольника должна быть равна 180 градусам.

Если угол KDS является прямым углом, а угол ADC не является прямым углом, то сумма углов треугольника ADC будет больше 180 градусов. Но это противоречит свойству суммы углов треугольника.

Таким образом, наше предположение было неверным, и сторона АВ должна быть перпендикулярна стороне CD.

Заключение:

Мы показали, что сторона АВ параллелограмма ABCD перпендикулярна и стороне BC, и стороне CD. Таким образом, все четыре стороны ABCD перпендикулярны друг другу, что означает, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.