Question

В трапеции ABCD (ADIIBC) AB=BC=CD, CH - высота. Докажите, что перпендикуляр , опущенный из точки H на AC, делит диагональ BD пополам.

Answer 1

В первом приложении рассмотрен случай BC>AD,
во  втором - BC<AD.

Answer 2

Чтобы доказать, что перпендикуляр, опущенный из точки H на AC, делит диагональ BD пополам, мы можем использовать свойства трапеции и прямоугольника.

Дано, что AB = BC = CD и CH - высота трапеции ABCD. Мы хотим доказать, что перпендикуляр из H делит диагональ BD пополам.

Для начала, обратимся к свойствам прямоугольника. В прямоугольнике противоположные стороны равны и диагонали пересекаются в их середине. Таким образом, чтобы доказать, что перпендикуляр из H делит диагональ BD пополам, мы можем показать, что HD = HB.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AHD и BHB. Мы знаем, что AB = BC (по условию), а также CH - высота трапеции ABCD. Таким образом, треугольники AHD и BHB являются равнобедренными треугольниками (по свойству равенства оснований равнобедренного треугольника).

2. Из равенства оснований треугольников AHD и BHB следует, что у них равны также углы при вершине H и B соответственно.

3. Так как углы при вершине H и B равны, а угол DHB - прямой (так как HD и BH перпендикулярны AC), то треугольники DHB и BHD подобны (по признаку угла-признаку подобия треугольников).

4. Из подобия треугольников DHB и BHD следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть, HD/BD = BH/HD.

5. Учитывая, что HD и BH - это отрезки, мы можем записать HD^2 = BD * BH.

6. Так как мы хотим доказать, что HD = HB, то мы можем записать HD^2 = BD * HD.

7. Отсюда следует, что HD^2 = HD * BD.

8. Если HD не равно нулю, то мы можем сократить обе стороны уравнения на HD и получить HD = BD.

9. Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр, опущенный из точки H на AC, делит диагональ BD пополам.

В результате наше доказательство показывает, что перпендикуляр, опущенный из точки H на AC, действительно делит диагональ BD пополам, что и требовалось доказать.